Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $M(1;1)$, $N(4;-1)$. Tính độ dài véc tơ $\overrightarrow{MN}$.

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hai điểm $B(-1;3)$ và $C(3;1)$. Độ dài vectơ $\overrightarrow{BC}$ bằng

Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm $M(4;1)$ trên đường thẳng $\Delta$ $\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=3+t\end{array}$ $(t\in \mathbb{R})$ là

Có hai con tàu $A$ và $B$ cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng tọa độ $Oxy$ với trên mỗi trục được tính theo km), sau khi xuất phát $t$ (giờ) $(t\ge 0)$, vị trí của tàu $A$ biểu diễn bởi phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=10+8t\\ y=-3+6t\end{array}$, vị trí của tàu $B$ biểu diễn bởi phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=-6+3t\\ y=-1+4t\end{array}$. Tính cosin góc giữa hai đường đi của hai tàu $A$ và $B$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $A(-2;5)$, $B(-4;-2)$, $C(1;5)$. Khi đó:

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d:7x-y+8=0$ và điểm $Q(-2;-1)$. Gọi $C(a;b)$ thuộc $d$ là điểm có hoành độ nhỏ nhất và khoảng cách từ điểm $C$ đến điểm $Q$ bằng $\sqrt{685}$. Giá trị của $4a+7b$ bằng

Cho ba điểm $A(2;-1)$; $B(1;2)$ và $C(4;-2)$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$; $AC$.