Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C):(x-5{)}^2+(y+2{)}^2=50$ và điểm $A(-2;-1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(5;-2)$, bán kính $R=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$.
a) $d(I,\Delta )=\frac{|5+2+3|}{\sqrt{2}}=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}=R$ nên $\Delta$ tiếp xúc $(C)$: Đúng.
b) $A\in (C)$ vì $(-2-5{)}^2+(-1+2{)}^2=49+1=50$. Tiếp tuyến tại $A$ vuông góc với $IA$, có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{IA}=(7;-1)$: $7x-y+13=0$. Phương trình $x+7y+9=0$ song song với bán kính $IA$ nên không phải tiếp tuyến: Sai.
c) Đúng như trên.
d) Các tiếp tuyến song song với $d$ có dạng $x+y+c=0$ với $|3+c|=10\iff c=7$ hoặc $c=-13$; cả hai đường $x+y+7=0$ và $x+y-13=0$ đều tiếp xúc $(C)$ và song song với $d$, tức về hình học có hai tiếp tuyến như vậy (mệnh đề Đúng). Tuy nhiên bảng đáp án chính thức mã đề 101 (trang 5) ghi Câu 1: a)Đ - b)S - c)Đ - d)S, nên đáp án nguồn d)Sai được giữ nguyên; mâu thuẫn giữa đáp án nguồn và lập luận hình học cần human review.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(C)$ có tâm $I(5;-2)$, bán kính $R=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$. $d(I,\Delta )=\frac{|5-(-2)+3|}{\sqrt{2}}=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}=R$ nên $\Delta$ tiếp xúc với $(C)$: Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$A\in (C)$ (xem ý c). Vectơ $\overrightarrow{IA}=(7;-1)$ là pháp tuyến của tiếp tuyến tại $A$: $7(x+2)-(y+1)=0\iff 7x-y+13=0$. Phương trình $x+7y+9=0$ có vectơ pháp tuyến $(1;7)$ cùng phương với $\overrightarrow{IA}=(7;-1)$, tức nó song song với bán kính $IA$ chứ không vuông góc, nên không phải tiếp tuyến: Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(-2-5{)}^2+(-1+2{)}^2=49+1=50=R^2$ nên $A$ thuộc $(C)$: Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến song song với $d$ có dạng $x+y+c=0$; $d(I,x+y+c=0)=\frac{|5-2+c|}{\sqrt{2}}=\frac{|3+c|}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\iff |3+c|=10\iff c=7$ hoặc $c=-13$. Vậy có đúng hai đường $x+y+7=0$ (chính là $d$) và $x+y-13=0$, đều cách $I$ đúng $R$ nên đều tiếp xúc $(C)$ và song song với $d$ — về mặt hình học mệnh đề này Đúng. Tuy nhiên bảng đáp án chính thức (trang 5, mã đề 101, Câu 1) ghi d)S (Sai); đáp án nguồn được giữ nguyên và mâu thuẫn giữa đáp án nguồn và lập luận hình học này cần human review.