Trong cuộc gặp mặt dặn dò trước khi lên đường tham gia kì thi học sinh giỏi, có 10 bạn trong đội tuyển gồm 2 bạn đến từ lớp 12A, 3 bạn từ lớp 12B, 5 bạn còn lại đến từ 5 lớp khác (mỗi lớp một bạn). Thầy giáo xếp ngẫu nhiên các bạn kể trên ngồi vào một bàn dài có 10 ghế mà mỗi bên có 5 ghế xếp đối diện nhau. Xác suất để không có học sinh nào cùng lớp ngồi đối diện nhau bằng $\frac{a}{b}$ (với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính $a-b$

Đáp án: $-25$.
Số cách xếp 10 bạn học sinh trong đội tuyển thi HSG vào một bàn dài mà mỗi bên có 5 ghế đối diện nhau là $10!\Rightarrow n(\Omega )=10!$.
Xét các biến cố: $A$ : "Không có học sinh nào cùng lớp ngồi đối diện nhau"; $\overline{A}$ : "Có học sinh cùng lớp ngồi đối diện nhau"; $A_1$ : "Học sinh lớp 12A ngồi đối diện nhau"; $A_2$ : "Học sinh lớp 12B ngồi đối diện nhau"; $A_1\cap A_2$ : "Học sinh 12A ngồi đối diện nhau và học sinh 12B ngồi đối diện nhau".
$\Rightarrow \overline{A}=A_1\cup A_2\Rightarrow n\left(\overline{A}\right)=n\left(A_1\right)+n\left(A_2\right)-n\left(A_1\cap A_2\right)$.
Sắp xếp 2 hs lớp 12A ngồi vào hai ghế đối diện nhau, hoán đổi vị trí của 2 hs, sau đó sắp xếp 8 hs còn lại $\Rightarrow n\left(A_1\right)=C_5^1.2!.8!$.
Từ 3 hs lớp 12B, chọn ra 2 hs sắp xếp 2 hs này ngồi vào hai ghế đối diện, sau đó sắp xếp 8 hs còn lại $\Rightarrow n\left(A_2\right)=A_3^2.C_5^1.8!$.
Sự kiện cả 12A và 12B đều có một cặp ngồi đối diện (các cặp ghế phải khác nhau): Chọn cặp ghế cho 12A: 5 cách; chọn cặp ghế khác cho 12B: còn 4 cách; chọn 2 trong 3 học sinh 12B để tạo cặp đối diện: $C_3^2=3$; sắp xếp trong mỗi cặp: 2! cho 12A và 2! cho 12B; các 6 học sinh còn lại sắp xếp vào 6 ghế còn lại: 6!.
Vậy $\Rightarrow n\left(A_1\cap A_2\right)=5\cdot 4\cdot C_3^2=3\cdot 2!\cdot 2!\cdot 6!$.
$\Rightarrow n\left(\overline{A}\right)=n\left(A_1\right)+n\left(A_2\right)-n\left(A_1\cap A_2\right)=1440000$.
$\Rightarrow n\left(A\right)=n\left(\Omega \right)-n\left(\overline{A}\right)=2188800\Rightarrow P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{38}{63}\Rightarrow a-b=-25$.