Trong cuộc gặp mặt dặn dò trước khi lên đường tham gia kì thi học sinh giỏi, có 10 bạn trong đội tuyển gồm 2 bạn đến từ lớp 12A, 3 bạn từ lớp 12B, 5 bạn còn lại đến từ 5 lớp khác (mỗi lớp một bạn). Thầy giáo xếp ngẫu nhiên các bạn kể trên ngồi vào một bàn dài có 10 ghế mà mỗi bên có 5 ghế xếp đối diện nhau. Xác suất để có học sinh cùng lớp ngồi đối diện nhau bằng $\frac{a}{b}$ (với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính $a+b$?

Đáp án: 88.
Số cách xếp 10 bạn học sinh trong đội tuyển thi HSG vào một bàn dài mà mỗi bên có 5 ghế đối diện nhau là $10!\Rightarrow n(\Omega )=10!$.
Xét các biến cố:
$A$ : "Có học sinh cùng lớp ngồi đối diện nhau".
$A_1$ : "Học sinh lớp 12A ngồi đối diện nhau".
$A_2$ : "Học sinh lớp 12B ngồi đối diện nhau".
$A_1\cap A_2$ : "Học sinh 12A ngồi đối diện nhau và học sinh 12B ngồi đối diện nhau".
$\Rightarrow A=A_1\cup A_2\Rightarrow n(A)=n(A_1)+n(A_2)-n(A_1\cap A_2)$.
Sắp xếp 2 hs lớp 12A ngồi vào hai ghế đối diện nhau, hoán đổi vị trí của 2 hs, sau đó sắp xếp 8 hs còn lại $\Rightarrow n(A_1)=C_5^1\cdot 2!\cdot 8!$.
Từ 3 hs lớp 12B, chọn ra 2 hs sắp xếp 2 hs này ngồi vào hai ghế đối diện, sau đó sắp xếp 8 hs còn lại $\Rightarrow n(A_2)=A_3^2\cdot C_5^1\cdot 8!$.
Sự kiện cả 12A và 12B đều có một cặp ngồi đối diện (các cặp ghế phải khác nhau): Chọn cặp ghế cho 12A: 5 cách; chọn cặp ghế khác cho 12B: còn 4 cách; chọn 2 trong 3 học sinh 12B để tạo cặp đối diện: $C_3^2=3$; sắp xếp trong mỗi cặp: 2! cho 12A và 2! cho 12B; các 6 học sinh còn lại sắp xếp vào 6 ghế còn lại: 6!.
Vậy
$$n\left(A_1\cap A_2\right)=5\cdot 4\cdot C_3^2\cdot 2!\cdot 2!\cdot 6!=172800.$$
$$\Rightarrow n(A)=n(A_1)+n(A_2)-n(A_1\cap A_2)=1440000.$$
$$P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{25}{63}\Rightarrow a=25;b=63\Rightarrow a+b=88.$$