Trên một khu đất hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh 200 m đang diễn ra một cuộc thi. Mỗi đội thi sẽ điều khiển con robot mà ban tổ chức cung cấp, xuất phát từ chính giữa cạnh $AB$, đi theo một đường thẳng và đến đích là một điểm bất kỳ trên cạnh $CD$. Ở chính giữa khu đất là một bãi cát hình chữ nhật có chiều dài 120 m và chiều rộng 80 m. Vận tốc của robot khi đi trên mặt đất là 3 m/s còn khi đi trên cát là 2 m/s. Gọi $a$ là thời gian (tính theo giây) ngắn nhất mà robot đi đến đích. Khi đó giá trị $100a$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

(AI giải đề cho tôi)
Lập hệ trục toạ độ: xuất phát là trung điểm cạnh $AB$, gọi là $M(0;0)$; cạnh $CD$ là đường thẳng $y=200$. Bãi cát hình chữ nhật nằm chính giữa khu đất, chiều dài 120 m theo phương thẳng đứng và chiều rộng 80 m theo phương ngang (phù hợp hình vẽ: hình cao hơn rộng), nên cát chiếm miền $-40\le x\le 40$, $40\le y\le 160$. Do tính đối xứng, chỉ xét đích $P(x;200)$ với $x\ge 0$. Đặt $k=\frac{x}{200}\in \left[0;\frac{1}{2}\right]$, đường đi thẳng từ $M$ có phương trình $X=ky$, độ dài trên mỗi đơn vị $y$ là $\sqrt{1+k^2}$.

Trường hợp 1: $0\le k\le 0,25$ (tức $x\le 50$): đường đi xuyên qua cát trên đoạn $y\in [40;160]$, độ dài trên cát là $120\sqrt{1+k^2}$, độ dài trên đất là $200\sqrt{1+k^2}-120\sqrt{1+k^2}=80\sqrt{1+k^2}$. Thời gian:
$$T=\frac{80\sqrt{1+k^2}}{3}+\frac{120\sqrt{1+k^2}}{2}=\frac{260}{3}\sqrt{1+k^2},$$
nhỏ nhất tại $k=0$ với $T\approx 86,67$ s; tại $k=0,25$ có $T=\frac{260}{3}\sqrt{1,0625}\approx 89,33$ s.

Trường hợp 2: $0,25\le k\le 0,5$: đường đi vào cát qua cạnh $x=40$ tại $y=\frac{40}{k}$ và ra khỏi cát ngay tại điểm đó (phần trên của đường đi nằm ngoài bãi cát), đoạn trên cát có độ dài $\left(\frac{40}{k}-40\right)\sqrt{1+k^2}$. Thời gian:
$$T(k)=\frac{200\sqrt{1+k^2}-\left(\frac{40}{k}-40\right)\sqrt{1+k^2}}{3}+\frac{\left(\frac{40}{k}-40\right)\sqrt{1+k^2}}{2}=\sqrt{1+k^2}\left(60+\frac{20}{3k}\right).$$
Đạo hàm: $T^{\prime }(k)=\frac{60k}{\sqrt{1+k^2}}-\frac{20}{3k^2\sqrt{1+k^2}}=0⟺60k^3=\frac{20}{3}⟺k^3=\frac{1}{9}⟺k=9^{-1/3}\approx 0,4807$ (thuộc $[0,25;0,5]$).

Thời gian nhỏ nhất:
$$a=T(k^{\ast })=\left(60+\frac{20}{3}\cdot 9^{1/3}\right)\sqrt{1+9^{-2/3}}\approx (60+13,8672)\cdot 1,10956\approx 81,9633\text{s}.$$
So sánh: tại $k=0,5$ (đến góc $C$) có $T\approx 81,99$ s; tại $k=0,25$ có $T\approx 89,33$ s; trên trường hợp $k\le 0,25$ thời gian nhỏ nhất là $\approx 86,67$ s. Vậy thời gian ngắn nhất là $a\approx 81,9633$ s.

Do đó $100a\approx 8196,33$, làm tròn đến hàng đơn vị: $100a\approx 8196$, khớp với đáp án chính thức Câu 5 (8196).