Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình ${\log }_2\left(\frac{2x^2+1}{2x}\right)+2^{x+\frac{1}{2x}}=5$.

Điều kiện xác định: $x>0$.
Đặt $t=x+\frac{1}{2x}=\frac{2x^2+1}{2x}$. Áp dụng BĐT AM-GM: $t\ge 2\sqrt{x\cdot \frac{1}{2x}}=\sqrt{2}$.
Phương trình trở thành:
${\log }_{2}t+2^t=5.$
Hàm số $f(t)={\log }_{2}t+2^t$ đồng biến trên $[\sqrt{2};+\infty )$.
Nhận thấy $f(2)={\log }_{2}2+2^2=1+4=5$, nên $t=2$ là nghiệm duy nhất.
Suy ra: $x+\frac{1}{2x}=2⟺2x^2-4x+1=0$.
Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt. Theo định lý Vi-ét, tích hai nghiệm là: $x_1{x}_2=\frac{1}{2}$.