Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=x^2+2$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1$, $x=3$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=x^2+1$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1$, $x=2$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Một công ty thiết kế tròng kính sao cho mỗi phần đường viền của tròng kính là một phần đồ thị của hàm số bậc hai hoặc một phần đồ thị của hàm số bậc bốn rồi ghép chúng lại với nhau như hình vẽ bên dưới (sau đó họ sẽ điều chỉnh theo tỷ lệ phù hợp). Xét hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ bên dưới, biết rằng $A(-2;0)$, $B(0;-4)$, $C(7;0)$ và $D(1;k)$ với $k>0$.

Cho biết đường cong $(C_1)$ đi qua các điểm $A,D,C$ là một phần của đồ thị hàm số bậc hai nào đó, đường cong $(C_2)$ ứng với đường viền nối $A$ với $B$ là một phần của đồ thị hàm số $y=b{x}^2+c$, còn đường cong $(C_3)$ ứng với đường viền nối $B$ với $C$ là một phần của đồ thị hàm số $y=m{x}^4+n$. Tính $k$ biết diện tích tròng kính đó bằng 33,44 (đơn vị diện tích).

[NB] Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $[a;b]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b$ được tính theo công thức nào dưới đây?

Cho hàm số $f(x)=x^3+a{x}^2+bx$, với $a$, $b$ là các số thực. Biết hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Gọi $(D)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ và trục hoành. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

Một công viên sinh thái muốn bố trí một mảnh vườn hoa nhỏ. Cụ thể bối cảnh của công viên đã được đo đạc như sau:
- Đường đi lát gạch chạy thẳng, lấy làm ranh giới của mảnh vườn.
- Hàng rào uốn cong có dạng là đồ thị parabol $y=x^2$, biết đồ thị parabol này tiếp xúc với đường đi tại đỉnh của nó.
- Ao cá có dạng là một hình tròn bán kính bằng 0,5 mét tiếp xúc với đường đi đồng thời có chung một điểm duy nhất với hàng rào. Khu vực vườn hoa nằm giữa hàng rào, lối đi và ao cá (phần gạch sọc trong hình minh họa). Hỏi diện tích mảnh vườn hoa đó bằng bao nhiêu mét vuông? ( Mỗi đơn vị trên trục tương ứng 1m) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Diện tích $S$ của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục $Ox$ và các đường thẳng $x=a;x=b(a<b)$ là