Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=-x^2+2x+1$, $y=2x^2-4x+1$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $2xf(x)+(x^2-1)f^{\prime }(x)=5x^4+8x^3+3a{x}^2+4x,\forall x\in \mathbb{R}$ ($a$ là số thực). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$ và $y=f^{\prime }(x)$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ nhận giá trị không âm, có đạo hàm liên tục trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$ và thỏa mãn điều kiện $f(x)=2{\int }_0^{x}t[f(t)+1]\mathrm{d}t,x\in \mathbb{R}$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=xf(x)$, $y=f^{\prime }(x)$, $x=1$ bằng

Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục trên $[a;b]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $y=f(x),y=g(x)$ và các đường thẳng $x=a,x=b$ bằng

Cho một mảnh vườn hình chữ nhật $ABCD$ có chiều rộng là $2\text{ m}$, chiều dài gấp ba chiều rộng. Người ta chia mảnh vườn bằng cách dùng hai đường parabol, mỗi đường parabol có đỉnh là trung điểm mỗi cạnh dài và đi qua hai mút của cạnh dài đối diện. Tính tỉ số diện tích phần mảnh vườn nằm ở miền trong hai parabol với diện tích phần còn lại. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Cho hai hàm số $y=f(x),y=g(x)$ liên tục trên đoạn $[a,b]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y=f(x),y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=a,x=b$ được tính bởi công thức

Một hoa văn trang trí được thiết kế gồm hai đường tròn đồng tâm và bốn phần của bốn đường parabol chung đỉnh (đỉnh là tâm của hai đường tròn). Biết rằng hai đường tròn đó có bán kính lần lượt là $20\text{ cm}$ và $16\text{ cm}$; bốn đường parabol đó đôi một cắt nhau tại bốn điểm (khác đỉnh của parabol) là bốn đỉnh của một hình vuông nội tiếp đường tròn nhỏ (như hình vẽ bên). Tính diện tích phần tô đậm (kết quả được tính theo ${\text{cm}}^2$ và làm tròn đến hàng đơn vị).