Cho $f$ là hàm số liên tục trên $[1;2]$. Biết $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $[1;2]$ thỏa $F(1)=-2$ và $F(2)=4$. Tính ${\int }_1^{2}f(x)dx$.

Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?

Biết ${\int }_1^3\frac{x+2}{x}dx=a+b\ln c$, với $a,b,c\in \mathbb{Z}$, $c<9$. Tính tổng $S=a+b+c$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha ):3x+2y-4z+1=0$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$?

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=e^{3x}$ là:

Cho tích phân ${\int }_0^1\left[f(x)+2x\right]dx=2$. Tính ${\int }_0^{1}f(x)dx$.

Tính $I={\int }_1^e\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx$

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn ${\int }_0^{2}f(x)dx=4$, ${\int }_1^{2}f(x)dx=3$. Tính ${\int }_0^{1}f(x)dx$.

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f(x)=2\sqrt{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0$, $x=2$ quay quanh trục $Ox$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;3;-4)$ và $B(-1;2;2)$. Viết phương trình mặt phẳng trung trực $(\alpha )$ của đoạn thẳng $AB$.

Tính ${\int }_0^2(6x^2-2x)dx$.

Biết rằng hàm số $f(x)=a{x}^2+bx+c$, $(a,b,c\in \mathbb{R})$ thỏa mãn ${\int }_0^{1}f(x)dx=-\frac{7}{2}$, ${\int }_0^{2}f(x)dx=-2$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[0;3]$.

Cho hàm số $f(x)=2x+1$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2x+y+2z-3=0$.

Cho hàm số $f(x)=2x-3\cos x$.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=-x^2+2x+1$, $y=2x^2-4x+1$.

Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x}$, $y=0$ và $x=4$ quanh trục $Ox$. Tính $V$ (làm tròn đến hàng phần mười).

Ông An muốn làm một cái cổng hình Parabol như hình vẽ bên dưới. Chiều cao $GH=4\text{ m}$, chiều rộng $AB=4\text{ m}$, $AC=BD=0,9\text{ m}$. Ông An làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật $CDEF$ tô đậm có giá là $1200000$ đồng/m${}^2$, còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là $900000$ đồng/m${}^2$. Hỏi để làm hai phần nói trên ông An phải trả bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng phần mười)?

Hình sau minh họa cho một nhà kho với hai mái $EFIK$, $HGIK$ là các hình chữ nhật có kích thước bằng nhau. Biết rằng chiều cao của nhà kho là $9$ m và các bức tường nhà kho tạo thành hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$ với $AB=10\text{ m}$, $AD=24\text{ m}$, $AE=7\text{ m}$. Tính khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(EFIK)$ (đơn vị m, làm tròn kết quả đến hàng phần mười).