Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn $[-2019;2019]$ của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x-3}}{x^2+x-m}$ có đúng hai đường tiệm cận.

Điều kiện xác định: $x\ge 3$ và $x^2+x-m\ne 0$.
Vì ${\lim }_{x\to +\infty }y=0$ nên đường thẳng $y=0$ là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì đồ thị phải có đúng một đường tiệm cận đứng, tức phương trình $x^2+x-m=0$ phải có đúng một nghiệm thuộc nửa khoảng $[3;+\infty )$.
Xét phương trình $x^2+x-m=0\iff m=x^2+x$.
Xét hàm số $g(x)=x^2+x$ trên $[3;+\infty )$, ta có $g^{\prime }(x)=2x+1>0,\forall x\ge 3$ nên $g(x)$ đồng biến trên $[3;+\infty )$ và $g(3)=12$.
Để phương trình $g(x)=m$ có đúng một nghiệm $x\ge 3$ thì phương trình ban đầu phải có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn $x_1<3\le x_2$, điều này tương đương với $f(3)\le 0\iff 12-m\le 0\iff m\ge 12$.
Kết hợp điều kiện $m\in [-2019;2019]$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta có $m\in \{12,13,\dots ,2019\}$.
Số giá trị nguyên thỏa mãn là $2019-12+1=2008$.