Tích phân ${\int }_1^2\frac{\mathrm{d}x}{3x-2}$ bằng

Nếu ${\int }_0^{1}f(x)\text{d}x=-3$ và ${\int }_0^{1}g(x)\text{d}x=2$ thì ${\int }_0^1\left[f(x)+2g(x)\right]\text{d}x$ bằng

Diện tích phần hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ dưới đây được tính theo công thức nào?

Nếu ${\int }_1^{5}f(x)\text{d}x=4$ và ${\int }_1^{3}f(x)\text{d}x=3$ thì ${\int }_3^{5}f(x)\text{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục, có đạo hàm trên đoạn $[0;2]$. Biết $f(2)=7$ và ${\left[f^{\prime }(x)\right]}^2=21x^4-12x-12xf(x)$ với $\forall x\in [0;2]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$, trục $Ox,Oy$ và $x=2$ bằng

Biết rằng tồn tại duy nhất bộ số $a,b,c\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản sao cho ${\int }_{\ln 3}^{\ln 8}\frac{e^x+2}{\sqrt{1+e^x}}\text{d}x=a+2\ln \frac{b}{c}$. Giá trị của biểu thức $a+b+c$ thuộc khoảng

Biết ${\int }_0^1[f(x)+2x]\mathrm{d}x=3$. Khi đó ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$ bằng