Tập xác định của hàm số $y={\left(x^2-2x-3\right)}^{-4}$ là

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông có $AB=AC$; $BC=SB=a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$ trùng với trung điểm $M$ của $BC$. Biết số đo của góc nhị diện $[B,SA,C]$ bằng $\alpha$. Tính $\cos \alpha$?

Một bể bơi với mặt nước khi đầy có dạng hình chữ nhật với chiều rộng $14m$ và chiều dài $30m$. Các thành bể xung quanh thẳng đứng và đáy là một mặt phẳng nghiêng. Chiều sâu tại một đầu bể là $1,2m$ và tăng dần đều đến $2,0m$ ở đầu kia của bể (xem hình vẽ). Ban đầu bể không chứa nước. Người ta sử dụng một máy bơm công suất lớn để bơm nước vào bể với tốc độ không đổi là $42m^3$/ giờ. Hỏi sau bao nhiêu giờ thì máy bơm đầy bể nước?

Cho đa giác đều 12 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm $O$. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đó. Tính xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=x(x-2{)}^2(2x+m+1)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu số nguyên âm $m$ để hàm số $g(x)=f(x^2)$ đồng biến trên khoảng $(1;+\infty )$?

Trong một cuộc thi thể thao, hai vận động viên Bình và An phải cùng lựa chọn xuất phát từ một vị trí $A$ nào đó trên bờ hồ và đích đến là cùng một vị trí $B$ nào đó trên bờ hồ kia. Bình phải chèo thuyền từ vị trí $A$, chèo qua vị trí cắm cờ cố định $M$, rồi chèo thuyền tiếp về vị trí $B$ ($A,M,B$ thẳng hàng). An phải chạy bộ dọc bờ hồ theo đường gấp khúc $AOB$. Biết rằng, $M$ cách bờ hồ ở vị trí $H$ một khoảng $160(m)$ và cách bờ hồ ở vị trí $K$ một khoảng $40(m)$.



Hỏi khi quãng đường $Am$ chạy là ngắn nhất, thì Bình phải chèo thuyền một khoảng bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho ngũ giác $ABCDE$ với $A(6;0)$, $B(2;4)$, $C(-2;4)$, $D(-4;0)$ và $E(0;-6)$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để điểm $M\left(m;m+4\right)$ nằm trên hình ngũ giác $ABCDE$ (tính cả năm cạnh $AB,BC,CD,DE,EA$)?