Phương trình $2\sin x-1=0$ có bao nhiêu nghiệm thuộc $\left(\frac{\pi }{2};4\pi \right)$?

Số nghiệm của phương trình: $\cos 3x=0$ trên nửa khoảng $\left[\frac{\pi }{6};\frac{37\pi }{6}\right)$ là bao nhiêu?

Chiều cao so với mực nước biển trung bình tại thời điểm $t$ (giây) ( với $t\ge 0$ ) của một con sóng được cho bởi hàm số $h(t)=75\sin \left(\frac{\pi t}{8}\right)$, trong đó $h(t)$ được tính bằng centimét. Trong 30 giây đầu tiên (kể từ mốc $t=0$ giây), có bao nhiêu thời điểm để con sóng đạt chiều cao lớn nhất?

Chiều cao so với mực nước biển trung bình tại thời điểm $t$ (giây) ( với $t\ge 0$ ) của một con sóng được cho bởi hàm số $h(t)=65\sin \left(\frac{\pi t}{8}\right)$, trong đó $h(t)$ được tính bằng centimét. Trong 25 giây đầu tiên (kể từ mốc $t=0$ giây), có bao nhiêu thời điểm để con sóng đạt chiều cao lớn nhất?

Phương trình $\cos x=\frac{1}{5}$ có bao nhiêu nghiệm trên đoạn $\left[\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right]$?

Phương trình $\sin x=\frac{1}{5}$ có bao nhiêu nghiệm trên đoạn $\left[\pi ;2\pi \right]$?

Trong một hệ thống trí tuệ nhân tạo (AI) dùng camera để nhận diện vật thể, camera được gắn trên một mô-tơ có thể quay liên tục. Khi camera quay quanh vật thể, góc nhìn thay đổi, làm cho chất lượng các đặc trưng hình ảnh mà hệ thống thu nhận cũng thay đổi. Hệ thống sử dụng hai thuật toán nhận diện độc lập. Với mỗi góc quay $x$ (đơn vị radian), $0\le x\le 8\pi$, mỗi thuật toán đưa ra một chỉ số tin cậy cho kết quả nhận diện. Qua quá trình thử nghiệm, các kỹ sư mô hình hóa hai chỉ số tin cậy này lần lượt bởi các hàm số $f(x)=1+{\sin }^{2}x$ và $g(x)=1+{\cos }^{2}x$. Để đánh giá mức độ phối hợp của hai thuật toán, hệ thống sử dụng một chỉ số kết hợp là $$H(x)={\log }_{4}f(x)\cdot {\log }_{4}g(x).$$ Gọi $H_0={\log }_4\frac{3}{2}$ và hệ thống đạt trạng thái phối hợp tối ưu khi $\sqrt{H(x)}=H_0$. Gọi $S$ tổng tất cả các góc quay $x\in [0;8\pi ]$ tại đó hệ thống đạt trạng thái phối hợp tối ưu, tính $\frac{20S}{\pi }$.