Phủ định của mệnh đề “$\forall x\in \mathbb{R},x^2+x+2>0$” là

Với giá trị nào của $x$ thì "$x^2-1=0$, $x\in \mathbb{N}$" là mệnh đề đúng?

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào không phải là mệnh đề?

Câu 3 (5.0 điểm). Một số nguyên dương $n$ gọi là “hoàn hảo” nếu tổng tất cả các ước dương của $n$ gấp đôi nó.

a) Chứng minh rằng số nguyên dương chẵn $n$ là số “hoàn hảo” khi và chỉ khi $n$ có dạng $n=2^{p-1}(2^p-1)$ với $p$ và $2^p-1$ là số nguyên tố.

b) Chứng minh rằng không thể có số nguyên dương lẻ $n$ nào “hoàn hảo” mà có đúng 3 ước nguyên tố phân biệt.

Câu 3 (7.0 điểm). Cho đa thức hệ số nguyên $P(x)$ và số nguyên tố $p$, ta nói $P(x)$ là $p$-tốt nếu mọi số nguyên có thể thu được từ 0 sau hữu hạn các phép thay sau: thay $a$ bởi $P(a)$, hoặc thay $a$ bởi số nguyên $b$ (nếu tồn tại) sao cho $P(b)\equiv a(\mathrm{mod}p)$.

a) Hỏi có bao nhiêu đa thức 3-tốt có bậc 99 và mọi hệ số thuộc $\{1;2;\dots ;99\}$?

b) Chứng minh rằng với mọi đa thức hệ số nguyên $P(x)$ có bậc 2, tồn tại vô hạn số nguyên tố $p$ sao cho $P(x)$ không là $p$-tốt.

Trên một bàn cờ vua hình vuông kích thước $8\times 8$, mỗi ô vuông ghi một số từ 1 đến 64 (các số chỉ ghi đúng một lần). Bạn Tuấn chơi một trò chơi như sau: Xóa hai số $a,b$ trong hai ô vuông và ghi lại số $a^2-b^2$ vào một trong hai ô đó. Cứ tiếp tục như thế... Chứng minh rằng sau 63 lần thực hiện như vậy thì số còn lại trên bàn cờ chia hết cho 4.

Câu 8. (2 điểm) Mệnh đề sau đúng hay sai, vì sao?

Nếu $a,b,c$ là các số nguyên lẻ phân biệt thì $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca+6$.