Một tổ có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. Xác suất để chọn được 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ bằng

Hình bên dưới là một máy trò chơi được đơn giản hóa. Khi thả một quả bóng từ cửa vào, bóng sẽ đi qua đúng một trong bốn vị trí $A,B,C,D$. Mỗi khi bóng đi qua vị trí nào thì đèn ở vị trí đó sẽ đổi trạng thái: đang tắt thì bật, đang bật thì tắt.

Ví dụ: Nếu ban đầu tất cả đèn đều tắt, thả bóng $2$ lần mà cả $2$ lần đều đi qua $A$ thì đèn ở $A$ sẽ bật rồi lại tắt; còn nếu lần $1$ bóng đi qua $A$ rồi lần $2$ bóng đi qua $B$ thì đèn ở $A$ và $B$ đều bật.
Cứ như vậy, mỗi lần bóng đi qua thì đèn đổi trạng thái. Trò chơi kết thúc khi cả bốn đèn $A,B,C,D$ đều bật.
Gọi xác suất để trò chơi kết thúc đúng ở lần thả bóng thứ $6$ là $\frac{a}{b}$ ($\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị của $a+b$ là bao nhiêu? (Biết rằng ban đầu tất cả đèn đều tắt, tại mỗi ngã rẽ, bóng đi sang hai hướng với xác suất bằng nhau).

Từ một nhóm gồm $5$ nam và $4$ nữ, chọn ngẫu nhiên ra $2$ người. Xác suất để $2$ người được chọn có ít nhất $1$ người nam bằng

Từ một lớp học gồm $18$ học sinh nam và $12$ học sinh nữ, chọn ra một ban cán sự gồm $4$ học sinh. Xác suất chọn được ban cán sự có số học sinh nam *không ít hơn* số học sinh nữ là

Có $5$ bông hoa màu đỏ, $6$ bông hoa màu xanh và $7$ bông hoa màu vàng (các bông hoa đều khác nhau). Một người chọn ngẫu nhiên ra $4$ bông hoa từ các bông trên. Xác suất để người đó chọn được bốn bông hoa có cả ba màu là

Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt bằng $7$ là

Chọn ngẫu nhiên lần lượt các số $a,b$ phân biệt thuộc tập hợp $\{3^k\mid k\in \mathbb{N},1\le k\le 10\}$. Tính xác suất để ${\log }_{a}b$ là một số nguyên dương.