Một gia đình dự định sử dụng một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích $384{\text{m}}^2$ trong khu vườn để làm kinh tế gia đình. Sau khi bờ bên trái của mảnh đất hình chữ nhật được trừ đi $4\text{m}$, $3$ bờ còn lại đều trừ $2\text{m}$ dùng làm lối đi và trồng cây thì diện tích còn lại được sử dụng để đào một cái ao dạng hình hộp chữ nhật có chiều sâu $2\text{m}$ để thả cá (tham khảo hình vẽ bên dưới). Khi thể tích của ao thả cá là lớn nhất thì chu vi mảnh vườn hình chữ nhật là bao nhiêu?

Một doanh nghiệp dự định sản xuất $x$ sản phẩm ($1\le x\le 1100$) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $F(x)=x^3-2199x^2+1219000x+2025000$ (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $G(x)=x+9000+\frac{2025000}{x}$ (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA=y$ ($y>0$) và vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$. Trên cạnh $AD$ lấy điểm $M$ và đặt $AM=x$ ($0<x<a$). Tính thể tích lớn nhất $V_{\max }$ của khối chóp $S.ABCM$, biết $x^2+y^2=a^2$.

Bạn An có một tấm bìa hình vuông cạnh $20\text{ cm}$. Bạn muốn cắt bỏ ở bốn góc bốn hình vuông nhỏ bằng nhau để gấp và dán lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp (tham khảo hình vẽ). Để hộp có thể tích lớn nhất thì độ dài cạnh của hình vuông nhỏ bị cắt là

Một hãng công nghệ dự định tung ra thị trường một loại tai nghe không dây mới. Chi phí sản xuất mỗi chiếc tai nghe là $500$ nghìn đồng với giá bán ra niêm yết là $1,2$ triệu đồng. Bộ phận bán hàng ước tính rằng, số lượng tai nghe bán được $n(x)$ phụ thuộc vào chi phí quảng cáo $x$ (đơn vị: triệu đồng) theo công thức $n(x)=A+40\ln (1+x)$. Biết rằng nếu chi $(e^2-1)$ triệu đồng cho quảng cáo thì bán được $190$ sản phẩm.

Một công ty môi trường nhận thấy mức độ ô nhiễm $P(t)$ của một dòng sông sau $t$ tháng xử lý được mô hình hóa bởi $P(t)=\frac{1}{3}{t}^3-5t^2+16t+100$ ($0\le t\le 12$). Tốc độ giảm ô nhiễm được định nghĩa là $v(t)=-P^{\prime }(t)$. Hãy tìm thời điểm $t$ (tháng) mà tại đó tốc độ giảm ô nhiễm đạt giá trị lớn nhất.

Trong kế hoạch vận hành thử nghiệm phân đoạn dài $290\text{ km}$ thuộc dự án đường sắt tốc độ cao, các kỹ sư cần xác định vận tốc khai thác $v$ (km/h) cho đoàn tàu ($200\le v\le 350$) để đạt hiệu quả kinh tế cao nhất. Các thông số được xác định như sau: Công suất tiêu thụ điện của đoàn tàu là $P(v)=5v^3$ (W). Giá điện kinh doanh ưu đãi là $2$ nghìn đồng/kWh. Chi phí vận hành cố định: Bao gồm nhân lực, bảo trì và các chi phí quản lý khác, được tính là $197780$ nghìn đồng cho mỗi giờ tàu chạy. Số lượng khách mua vé phụ thuộc vào vận tốc khai thác theo hàm số: $N(v)=v+610$ (hành khách). Giá vé bình quân cho phân đoạn này là $1$ triệu đồng/khách. Hãy xác định vận tốc khai thác $v$ để lợi nhuận ròng của mỗi chuyến tàu trên phân đoạn này là lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).