Lát cắt ngang của một vùng đất ven biển được mô hình hoá thành một hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ (đơn vị độ dài trên các trục là ki-lô-mét).



Biết khoảng cách hai bên chân đồi $OA=2km$, độ rộng của hồ $AB=1km$ và ngọn đồi cao $528m$. Tìm độ sâu của hồ (tính bằng mét) tại điểm sâu nhất? (làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong phản ứng, chất A được tạo ra rồi dần bị phân hủy. Nồng độ của chất A (g/l) sau $t$ giờ được mô hình hoá bởi công thức $C(t)=20\left(1-e^{-t}\right)e^{-0,2t}$. Biết trong 10 giờ đầu tiên, nồng độ chất A đạt giá trị lớn nhất khi $t=\ln b$, $(b\in {\mathbb{N}}^{\ast })$. Giá trị của $b$ là

Một cửa hàng bán cây giống với giá 80 000 đồng/cây thì bán được khoảng 40 cây/ngày. Dự kiến nếu giảm giá mỗi cây 5 000 đồng thì số cây bán ra tăng thêm 20 cây. Biết giá nhập mỗi cây là 50 000 đồng. Hỏi cửa hàng nên bán với giá bao nhiêu nghìn đồng để lợi nhuận trong ngày lớn nhất? (Giả sử cửa hàng có đủ hàng).

Từ một tấm nhôm hình chữ nhật $25cm\times 40cm$, cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau cạnh $x$, rồi gấp lên thành một hộp không nắp. Chiều cao của hộp là bao nhiêu xăng-ti-mét để hộp có thể tích lớn nhất?

Câu 5. Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá 30000 đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 3000 chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá 30. 000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 100 chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là 18000. Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì mỗi chiếc khăn cần bán với giá bao nhiêu nghìn đồng?

Một người nông dân có 15 000 000 đồng để làm một hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông bao quanh hai khu đất trồng rau có dạng hai hình chữ nhật bằng nhau (Hình 35). Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60 000 đồng/mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50 000 đồng/mét, mặt giáp bờ sông không phải rào. Tìm diện tích lớn nhất của hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào.

Anh Bình đang trên chiếc thuyền tại vị trí A cách bờ sông $2km$, anh dự định chèo thuyền vào bờ và tiếp tục chạy bộ theo một đường thẳng để đến một địa điểm B nằm ven bờ sông, B cách vị trí O trên bờ gần với thuyền nhất là $4km$ (hình vẽ). Gọi $P$ là vị trí anh Bình chèo thuyền vào. Biết rằng anh chèo thuyền với vận tốc $6km/h$ và chạy bộ trên bờ với vận tốc $12km/h$. Tính khoảng thời gian (phút) ngắn nhất để anh Bình từ vị trí xuất phát đến được điểm B (giả sử vận tốc dòng nước không đáng kể).