Câu 5. Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá 30000 đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 3000 chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá 30. 000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 100 chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là 18000. Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì mỗi chiếc khăn cần bán với giá bao nhiêu nghìn đồng?

Một người nông dân có 15 000 000 đồng để làm một hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông bao quanh hai khu đất trồng rau có dạng hai hình chữ nhật bằng nhau (Hình 35). Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60 000 đồng/mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50 000 đồng/mét, mặt giáp bờ sông không phải rào. Tìm diện tích lớn nhất của hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào.

Anh Bình đang trên chiếc thuyền tại vị trí A cách bờ sông $2km$, anh dự định chèo thuyền vào bờ và tiếp tục chạy bộ theo một đường thẳng để đến một địa điểm B nằm ven bờ sông, B cách vị trí O trên bờ gần với thuyền nhất là $4km$ (hình vẽ). Gọi $P$ là vị trí anh Bình chèo thuyền vào. Biết rằng anh chèo thuyền với vận tốc $6km/h$ và chạy bộ trên bờ với vận tốc $12km/h$. Tính khoảng thời gian (phút) ngắn nhất để anh Bình từ vị trí xuất phát đến được điểm B (giả sử vận tốc dòng nước không đáng kể).

Câu 3 (1,0 điểm). Anh An đang trên chiếc thuyền tại vị trí A cách bờ sông $2km$, anh dự định chèo thuyền vào bờ và tiếp tục chạy bộ theo một đường thẳng để đến một địa điểm B nằm ven bờ sông, B cách vị trí O trên bờ gần với thuyền nhất là $4km$ (hình vẽ). Gọi $P$ là vị trí anh An chèo thuyền vào. Biết rằng anh chèo thuyền với vận tốc $5km/h$ và chạy bộ trên bờ với vận tốc $10km/h$. Tính khoảng thời gian (phút) ngắn nhất để anh An từ vị trí xuất phát đến được điểm B (giả sử vận tốc dòng nước không đáng kể).

Để hỗ trợ học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT, một nhóm chuyên gia đã phát triển ứng dụng trợ lý học tập $AI$. Số lượng người dùng ứng dụng sau $t$ tháng phát hành được mô hình hóa bởi hàm số:
$$f(t)=\frac{12000}{1+23e^{-0,5t}}$$
(Trong đó, thời gian $t\ge 0$ tính bằng tháng). Biết rằng hàm số $f^{\prime }(t)$ biểu thị tốc độ tăng trưởng người dùng mới của ứng dụng. Sau khi phát hành bao nhiêu tháng thì tốc độ tăng trưởng người dùng của ứng dụng đạt giá trị lớn nhất? *(Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)*.

Để hỗ trợ học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT, một nhóm chuyên gia đã phát triển ứng dụng trợ lý học tập $AI$. Số lượng người dùng ứng dụng sau $t$ tháng phát hành được mô hình hóa bởi hàm số:
$$f(t)=\frac{12000}{1+23e^{-0,5t}}$$
(Trong đó, thời gian $t\ge 0$ tính bằng tháng). Biết rằng hàm số $f^{\prime }(t)$ biểu thị tốc độ tăng trưởng người dùng mới của ứng dụng. Sau khi phát hành bao nhiêu tháng thì tốc độ tăng trưởng người dùng của ứng dụng đạt giá trị lớn nhất? *(Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)*.

Người ta muốn làm một đường để tránh tảng đá lớn ở vị trí $D$. Trong quá trình khảo sát họ chọn hai vị trí $A$ và $B$ để làm con đường nhằm nối hai vị trí $A$ và $B$ đồng thời con đường luôn đi qua vị trí $M$ cố định. Giả sử con đường nối hai vị trí $A$ và $B$ là một đường thẳng và ba vị trí $A$, $M$, $B$ theo thứ tự thẳng hàng. Biết đường thẳng $\widehat{AD}$ vuông góc với đường thẳng $\widehat{BD}$ (tham khảo hình minh họa bên dưới). Nếu khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $\widehat{AD}$ bằng $1km$ và khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $\widehat{BD}$ bằng $8km$ thì phải chọn vị trí $A$ và vị trí $B$ cách vị trí $D$ một khoảng bao nhiêu ki lô mét để con đường $\widehat{AB}$ ngắn nhất.