Lập bảng biến thiên và tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y=x^3-3x^2-9x+16$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=x^3-3x^2-9x+16$, xác định trên $\mathbb{R}$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)$.

$y^{\prime }=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$.

- Với $x<-1$: $y^{\prime }>0$ (cả hai nhân tố âm), hàm số đồng biến.
- Với $-1<x<3$: $y^{\prime }<0$, hàm số nghịch biến.
- Với $x>3$: $y^{\prime }>0$, hàm số đồng biến.

Bảng biến thiên:
$$<table><tbody><tr><td>x</td><td>-\infty </td><td></td><td>-1</td><td></td><td>3</td><td></td><td>+\infty </td></tr><tr><td>y^{\prime }</td><td></td><td>+</td><td>0</td><td>-</td><td>0</td><td>+</td><td></td></tr><tr><td>y</td><td>\nearrow </td><td>21</td><td>\searrow </td><td>-11</td><td>\nearrow </td><td></td></tr></tbody></table>$$
Trong đó $y(-1)=-1-3+9+16=21$ (cực đại) và $y(3)=27-27-27+16=-11$ (cực tiểu).

Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(3;+\infty )$; nghịch biến trên khoảng $(-1;3)$.