Hệ thống cáp treo gồm hai trụ lớn và một đường cáp nối thẳng giữa hai trụ đó (coi như độ cong không đáng kể), được đặt trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$. Một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $O(0;0;0)$ thuộc trụ thứ nhất và chuyển động thẳng đều theo đường cáp đến điểm $A(896;2025;189)$ thuộc trụ thứ hai với tốc độ là $7,4\text{ (m/s)}$ (đơn vị trên mỗi trục là mét).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A(10;3;0)$ và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là $\vec{u}(2;-2;1)$ với tốc độ $4,5\text{ m/s}$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Một camera giám sát an toàn đặt tại $I(50;-10;50)$. Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi cabin xuất phát thì cabin gần camera giám sát an toàn nhất? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mỗi đơn vị trên hệ trục ứng với $10\text{ km}$, trạm kiểm soát không lưu đang theo dõi hai máy bay. Máy bay thứ nhất ban đầu ở tọa độ $A(25;-10;1)$ và bay theo hướng vectơ ${\vec{v}}_1=(-3;-4;0)$ với tốc độ không đổi là $750\text{ km/h}$. Máy bay thứ hai ban đầu ở tọa độ $B(30;-25;1,1)$ và bay theo hướng vectơ ${\vec{v}}_2=(-4;3;0)$ với tốc độ không đổi là $900\text{ km/h}$. Trên máy bay thứ nhất có gắn radar tránh va chạm với bán kính hoạt động là $50\text{ km}$. Hỏi thời gian máy bay thứ hai xuất hiện trên màn hình của radar máy bay thứ nhất là bao nhiêu phút (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Câu 3. Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm $A(3;1;0)$, $B(3;6;6)$, $C(4;6;2)$, $D(6;2;14)$; vị trí $M(a;b;c)$ thỏa mãn $MA=3,MB=6,MC=5,MD=13$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(Oxy)$ bằng bao nhiêu?

Câu 3. Tại một sân bay, hai vệ tinh $A$ và $B$ được đặt cố định để giám sát một số khu vực cố định. Một thiết bị tự động $X$ di chuyển trên mặt đất và được điều khiển bởi đài Radar trung tâm để đảm bảo tín hiệu liên lạc được truyền thẳng tới cả hai vệ tinh $A$ và $B$, đồng thời các đường thẳng phát tín hiệu từ thiết bị $X$ đến hai vệ tinh $A$ và $B$ luôn tạo với mặt đất các góc phụ nhau. Xét trong không gian $Oxyz$, xem mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$, Radar được đặt tại gốc tọa độ $O$, hai vệ tinh $A$ và $B$ được đặt tại các điểm có tọa độ lần lượt là $A(2;10;4)$ và $B(6;30;6)$. Khoảng cách lớn nhất mà Radar có thể liên lạc đến thiết bị tự động $X$ bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 9: Một máy bay đang cất cánh từ phi trường. Với hệ tọa độ $Oxyz$ được thiết lập như hình vẽ, cho biết $M$ là vị trí của máy bay, $OM=14,\widehat{HOB}=30^{\circ },\widehat{MOC}=60^{\circ }$. Điểm $M(a;b;c)$. Tính $P=abc$.

Trong không gian $Oxyz$, một bức tường hình chữ nhật $ABCD$ có chiều cao $3\text{ m}$ được dựng vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$ với hai điểm $A(3;1;0)$ và $B(1;4;0)$. Giả sử rằng mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, trục $Oz$ hướng lên trên và mỗi đơn vị trên hệ trục tương ứng với $1\text{ m}$. Một trạm phát sóng được đặt tại điểm $M(5;6;5)$. Trạm phát sóng phát ra các sóng thẳng và truyền về mọi hướng nhưng khi gặp bức tường thì bị chắn lại vì vậy có một vùng sau bức tường không có sóng. Một chất điểm bắt đầu chuyển động thẳng đều trong mặt phẳng $(Oxy)$ từ điểm $N(-6;-4;0)$ qua gốc tọa độ $O$ đến chân tường với vận tốc $0,8\text{ m/s}$. Tính thời gian theo giây từ lúc chất điểm bắt đầu đi vào vùng mất sóng đến lúc chất điểm chạm vào chân tường và quay về vị trí ban đầu, giả thiết độ dày của bức tường là không đáng kể (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).