Hai con tàu $A$ và $B$ đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 10 hải lí. Cả hai tàu đồng thời cùng khởi hành. Tàu $A$ chạy về hướng Nam với 7 hải lí/giờ; còn tàu $B$ chạy về vị trí hiện tại của tàu $A$ với vận tốc 8 hải lí/giờ (như hình minh họa). Hỏi sau bao nhiêu giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là ngắn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ với gốc tại vị trí ban đầu $A$ của tàu $A$, trục hoành hướng về phía $B$ (hướng Đông), trục tung hướng Nam. Sau $t$ giờ, tàu $A$ ở $A_1(0;7t)$. Tàu $B$ chạy thẳng về vị trí ban đầu của tàu $A$ (điểm $A$) với vận tốc 8 hải lí/giờ nên ở $B_1(10-8t;0)$ với $0\le t\le \frac{10}{8}=1,25$.

Khoảng cách giữa hai tàu:
$$d^2(t)=(10-8t{)}^2+(7t{)}^2=100-160t+113t^2.$$
Xét hàm $f(t)=113t^2-160t+100$ trên $[0;1,25]$. Hoành độ đỉnh:
$$t=\frac{160}{2\cdot 113}=\frac{80}{113}\approx 0,7080\in [0;1,25].$$
Vì hệ số $113>0$ nên $d^2$ (và do đó $d$) đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=\frac{80}{113}\approx 0,71$ giờ. Khi đó $d_{\min }=\sqrt{100-\frac{160\cdot 80}{113}+113\cdot \frac{6400}{12769}}\approx 6,63$ hải lí.

Vậy sau khoảng $0,71$ giờ khoảng cách giữa hai tàu là ngắn nhất.