Hai bạn An và Bình tham gia một trò chơi tung một con xúc xắc cân đối, đồng chất 6 mặt. Bạn Bình tung trước. Nếu Bình tung được mặt có số chấm là số lẻ thì Bình thắng ngay lập tức. Nếu không, đến lượt An tung. Nếu An tung được mặt 6 chấm thì An thắng ngay lập tức. Nếu An vẫn chưa thắng, lượt chơi quay lại cho Bình với quy tắc cũ, và cứ thế tiếp diễn cho đến khi có người thắng. Tính xác suất để Bình là người thắng chung cuộc (làm tròn đến hàng phần trăm).

Xét dãy các hình phẳng $K_n,n\ge 0$ được xác định như sau: $K_0$ là một lục giác đều có độ dài cạnh bằng 1. Với mỗi số tự nhiên $n$, hình $K_{n+1}$ được tạo thành từ hình $K_n$ bằng cách như sau: Chia mỗi cạnh của $K_n$ thành 3 đoạn thẳng bằng nhau; trên đoạn thẳng ở chính giữa, dựng một tam giác đều nằm về phía trong của $K_n$, sau đó thay thế đoạn thẳng này bởi đường gấp khúc gồm hai cạnh còn lại của tam giác đều vừa dựng. Dưới đây là hình minh họa cho $K_0,K_1,K_2$ và $K_3$.



Kí hiệu $s_n$ là diện tích của hình $K_n$, tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }{s}_n$.

Bạn A thả quả bóng cao su từ độ cao 10m theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng $\frac{3}{4}$ độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn.

Cho tam giác $T_1$ có diện tích bằng 2. Giả sử tam giác $T_2$ đồng dạng với tam giác $T_1$, tam giác $T_3$ đồng dạng với tam giác $T_2$ …tam giác $T_n$ đồng dạng với tam giác $T_{n-1}$ với tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{3}$. Khi n tiến tới vô cùng thì tổng diện tích của tất cả các tam giác này bằng bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho tam giác $T_1$ có diện tích bằng 1. Giả sử tam giác $T_2$ đồng dạng với tam giác $T_1$, tam giác $T_3$ đồng dạng với tam giác $T_2$ …tam giác $T_n$ đồng dạng với tam giác $T_{n-1}$ với tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{2}$ . Khi n tiến tới vô cùng thì tổng diện tích của tất cả các tam giác này bằng bao nhiêu? ( làm tròn đến hàng phần trăm).

Từ một hình vuông $ABCD$ cạnh bằng 1, ta thực hiện như sau:
+ Chia cạnh AB thành 3 đoạn bằng nhau, về phía ngoài, dựng hình vuông có cạnh là đoạn ở giữa rồi xóa đi đoạn đó, ta được hình $H_1$.
+ Trên mỗi cạnh song song với $CD$ của hình $H_1$ ta lại chia thành 3 đoạn bằng nhau, về phía ngoài, dựng hình vuông có cạnh là đoạn ở giữa và xóa đi đoạn đó, ta được hình $H_2$.
Ta tiếp tục lặp lại quá trình như trên. Gọi $S_n$ là diện tích của hình $H_n$, tính ${\lim }_{n\to +\infty }{S}_n$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 3 (0,5 điểm). Cho hình vuông $H_1$ có cạnh bằng $a$ ($a>0$). Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành sáu phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $H_2$. Từ hình vuông $H_2$ lại làm như trên được hình vuông $H_3$; cứ tiếp tục như vậy ta nhận được dãy các hình vuông $H_1,H_2,H_3,...,H_n,...$ (tham khảo hình vẽ). Gọi $S_i$ là diện tích của hình vuông $H_i$ $(i\in \{1;2;3;...\})$. Đặt $T=S_1+S_2+S_3+...+S_n+...$. Biết $T=90$, tính $a$.