Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{x-2}-1}{x-3}& \text{khi }x>3\\ kx+\frac{13}{2}& \text{khi }x\le 3\end{array}$. Xét tính đúng – sai của các khẳng định sau:

a) $f(6)=-\frac{1}{3}$

b) ${\lim }_{x\to 2}f(x)=1$.

c) ${\lim }_{x\to 3^{+}}f(x)=\frac{m}{n}$; $(\frac{m}{n}$ là phân số tối giản$)$. Khi đó $3m+n^2=7$.

d) Hàm số liên tục tại $x=3$ khi $k=2$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Với x=6>3: f(6)=(√(6−2)−1)/(6−3)=(2−1)/3=1/3, không phải −1/3 → Sai.
b) Với x→2 (x≤3): lim f(x)=2k+13/2, phụ thuộc k và không bằng 1 → Sai.
c) lim_{x→3+}(√(x−2)−1)/(x−3): nhân liên hợp, (√(x−2)−1)/(x−3)=1/(√(x−2)+1)→1/(1+1)=1/2. Phân số tối giản m/n=1/2 nên 3m+n²=3·1+2²=7 → Đúng.
d) Liên tục tại x=3 yêu cầu 3k+13/2=1/2 ⇒ 3k=−6 ⇒ k=−2, không phải k=2 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
f(6)=(√4−1)/3=1/3≠−1/3.
b) (AI giải đề cho tôi)
lim_{x→2}f(x)=2k+13/2, không xác định bằng 1.
c) (AI giải đề cho tôi)
lim_{x→3+}f(x)=1/(√(x−2)+1)|_{x=3}=1/2, nên 3·1+2²=7.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cần 3k+13/2=1/2 ⇒ k=−2, không phải k=2.