Gọi $S$ là tập các số thực $(x;y)$ sao cho $x\in (0;+\infty )$ và ${\left(2^x+\frac{1}{2^x}\right)}^y={\left(2^y+\frac{1}{2^y}\right)}^x$ . Biết rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=e^y+\cos y-2-2x+\frac{x^2}{2}$ với $(x;y)\in S$ đạt được tại $(x_0;y_0)$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $(2^x+2^{-x}{)}^y=(2^y+2^{-y}{)}^x$ tương đương $\frac{\ln (2^x+2^{-x})}{x}=\frac{\ln (2^y+2^{-y})}{y}$ (với mẫu khác 0). Hàm $g(t)=\frac{\ln (2^t+2^{-t})}{t}$ là hàm lẻ và giảm dần trên $(0;+\infty )$ (vì $g(t)\to \ln 2$ khi $t\to +\infty$, $g(t)\to +\infty$ khi $t\to 0^{+}$, và $g^{\prime }(t)=\frac{t\cdot \frac{(2^t-2^{-t})\ln 2}{2^t+2^{-t}}-\ln (2^t+2^{-t})}{t^2}<0$ do $\ln (2^t+2^{-t})>\ln 2\cdot \frac{t(2^t-2^{-t})}{2^t+2^{-t}}$ với $t>0$). Do đó với $x>0$ thì $g(x)=g(y)\Rightarrow y=x$. Vậy $S=\{(x,x):x>0\}$ và $P(x)=e^x+\cos x-2-2x+\frac{x^2}{2}$.
$P^{\prime }(x)=e^x-\sin x-2+x$: $P^{\prime }(0)=-1<0$, $P^{\prime }(1)=e-\sin 1-1\approx 0,877>0$.
$P^{\prime \prime }(x)=e^x-\cos x+1>0$ với mọi $x$, nên $P^{\prime }$ đồng biến và có duy nhất một nghiệm $x_0\in (0;1)$, đó là điểm đạt GTNN. Vậy $x_0\in (0;1)$, chọn A.