Giả sử số lượng cá thể của một quần thể tảo trong bể nuôi được mô hình hoá bằng hàm số $P(t)=\frac{a}{b+e^{-0,6t}}$ (nghìn cá thể), trong đó thời gian $t$ được tính bằng ngày. Hàm số $P^{\prime }(t)$ biểu thị tốc độ gia tăng của quần thể tại thời điểm $t$. Biết rằng $P(0)=40$ và $P^{\prime }(0)=12$. Theo mô hình này, khi thời gian nuôi càng kéo dài ($t$ rất lớn) thì số lượng cá thể tảo trong bể sẽ không vượt quá bao nhiêu (đơn vị: nghìn cá thể)?

Giả sử số lượng tế bào của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hóa bằng hàm số $P(t)=\frac{a}{b+e^{-0,75t}}$ (với $a,b\in \mathbb{R}$), trong đó thời gian $t$ được tính bằng giờ. Đạo hàm của hàm số $y=P(t)$ biểu thị tốc độ sinh trưởng của nấm men (tính bằng tế bào/giờ) tại thời điểm $t$ (giờ). Tại thời điểm ban đầu $t=0$, quần thể có $24$ tế bào và tốc độ sinh trưởng là $8$ tế bào/giờ. Sau một thời gian về lâu dài thì số lượng tế bào của quần thể nấm men tiến về giá trị bao nhiêu?

Một bể ban đầu chứa 150 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 50 lít nước, đồng thời cho vào bể 20 gam chất khử trùng (hòa tan). Gọi $f(t)\text{ (gam/lıˊt)}$ là nồng độ chất khử trùng trong bể sau $t$ phút ($t\ge 0$), biết rằng sau khi khảo sát sự biến thiên của hàm số $f(t)$, ta thấy giá trị $f(t)$ tăng theo thời gian $t$ nhưng không vượt ngưỡng $p\text{ gam/lıˊt}$. Tìm số $p$ (kết quả viết dưới dạng số thập phân).

Tại một công ty sản xuất đồ chơi an toàn cho trẻ em, công ty phải chi $40000\text{ USD}$ để thiết lập dây chuyền sản xuất ban đầu. Sau đó, cứ sản xuất được một sản phẩm đồ chơi $A$, công ty phải trả $6\text{ USD}$ cho nguyên liệu ban đầu và nhân công. Gọi $x$ $(x\ge 1)$ là số đồ chơi $A$ mà công ty đã sản xuất và $P(x)$ (đơn vị USD) là tổng số tiền bao gồm cả chi phí ban đầu mà công ty phải chi trả khi sản xuất $x$ đồ chơi $A$. Người ta xác định chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm đồ chơi $A$ là $F(x)=\frac{P(x)}{x}$. Xem $F(x)$ là hàm số theo $x$ xác định trên nửa khoảng $[1;+\infty )$. Khi sản xuất đồ chơi $A$ với số lượng lớn thì chi phí trung bình của mỗi đồ chơi $A$ thấp nhất càng gần nhưng không thể nhỏ hơn bao nhiêu (USD)?

Một quần thể vi khuẩn được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm. Nồng độ dinh dưỡng $S$ (đơn vị: $\text{mg/l}$) thay đổi theo thời gian $t$ giờ ($t\ge 0$) được mô hình hóa bởi hàm số: $S(t)=\frac{10t+5}{t+1}$. Biết rằng tốc độ sinh trưởng $V$ của vi khuẩn phụ thuộc vào nồng độ dinh dưỡng theo hàm số $V(S)=\frac{5S}{S+2}$. Khi thời gian $t$ kéo dài, tốc độ sinh trưởng $V$ tăng dần và ổn định quanh một ngưỡng $K$ nhất định. Hỏi sau bao nhiêu **phút** thì tốc độ sinh trưởng của vi khuẩn đạt $90\%$ của ngưỡng $K$ đó?

Giới hạn $K={\lim }_{x\to -\infty }\frac{\sqrt{4x^2+1}}{x+1}$ bằng

${\lim }_{x\to -\infty }\frac{-2x-1}{2-3x}$ bằng: