Có một chiếc lồng bằng sắt dạng hình hộp chữ nhật $ABCD\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=2\text{ m},AD=3\text{ m},A{A}^{\prime }=1\text{ m}$. Người thợ hàn muốn hàn một thanh sắt $MN$ nối hai đoạn $AD$ và $B{D}^{\prime }$ (Hình vẽ). Tính chiều dài ngắn nhất của đoạn thanh sắt $MN$. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét.

Câu 4. Bay Flycam trái phép là hành vi tiềm ẩn nguy cơ uy hiếp trực tiếp an toàn hàng không, lĩnh vực liên quan tới tính mạng của hàng trăm hành khách trên mỗi chuyến bay. Một cảng hàng không quốc tế thiết lập hệ thống radar giám sát được đặt tại gốc tọa độ $O(0;0;0)$ trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: $1\text{ km}$, mặt phẳng $Oxy$ là mặt đất). Tại thời điểm $t=0$, radar quét được tín hiệu một flycam xâm nhập tại điểm $A(4;2;2)$ và đang bay theo đường thẳng với vectơ vận tốc ${\vec{v}}_1(-1;0;0)$ (đơn vị: km/phút). Cùng lúc đó, một máy bay chở khách A321 đang chờ lệnh cất cánh tại điểm $B(0;-2;0)$. Nếu được cấp phép, quỹ đạo cất cánh dự kiến của máy bay là một đường thẳng với vectơ vận tốc ${\vec{v}}_2(0;4;3)$ (đơn vị: km/phút). Kiểm soát viên không lưu không được phép cấp lệnh cất cánh cho máy bay thương mại nếu hệ thống dự báo có bất kì thời điểm nào khoảng cách giữa máy bay và vật thể lạ nhỏ hơn $5\text{ km}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Câu 4. Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có độ dài cạnh bên bằng $4\sqrt{2}$ và đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$, có $AC=4$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $A{A}^{\prime }$, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $C^{\prime }M$ và $AB$ (không làm tròn ở các bước trung gian).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{3}$ và $d_2:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\\ z=m\end{array}$. Gọi $S$ là tập tất cả các số $m$ sao cho $d_1$ và $d_2$ chéo nhau và khoảng cách giữa chúng bằng $\frac{5}{\sqrt{19}}$. Tính tổng các phần tử của $S$.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tính góc giữa hai đường thẳng d1 =
: = và
1 −1 2
x +1 y z − 3
d2 : = = .
−1 1 1

Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa hai đường thẳng $d_1:\frac{x}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+4}{2}$ và $d_2:\{\begin{array}{l}x=3-2t\\ y=2t\\ z=3+2t\end{array}$

Trong không gian $Oxyz$, góc giữa hai đường thẳng ${\Delta }_1:\{\begin{array}{l}x=3-2t\\ y=-4+t\\ z=-4-t\end{array}$ và ${\Delta }_2:\{\begin{array}{l}x=1-4t\\ y=3-4t\\ z=2-t\end{array}$ bằng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).