Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[-3;3]$ sao cho hàm số $f(x)=m{x}^3-3x^2+(m-2)x+3$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$?

Chọn A.
Ta có $f^{\prime }(x)=3m{x}^2-6x+m-2$.
- Trường hợp 1: $m=0$. Khi đó $f^{\prime }(x)=-6x-2$, đổi dấu trên $\mathbb{R}$, nên hàm số không thể nghịch biến trên $\mathbb{R}$ (loại $m=0$).
- Trường hợp 2: $m\ne 0$. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi:
$\{\begin{array}{l}a=3m<0\\ {\Delta }^{\prime }=(-3{)}^2-3m(m-2)\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m<0\\ 9-3m^2+6m\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m<0\\ m^2-2m-3\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m<0\\ \left[\begin{array}{c}m\le -1\\ m\ge 3\end{array}\right]\end{array}\iff m\le -1$.
Do $m\in [-3;3]$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-3;-2;-1\}$.
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn.