Có bao nhiêu cặp số $(x;y)$ nguyên dương thỏa mãn: $(2^{x-1}+1)[3^{x+1}-2\ln (x+y-1)-1]=2^{x+1}-2\ln (x+1)$ và $x,y\le 2023$?

Chọn D
Phương trình đã cho biến đổi về dạng hàm đặc trưng:
$f(u)=f(v)$ với $f(t)=2^t\ln t$.
Hàm số $f(t)$ đồng biến trên $[1;+\infty )$.
Từ đó suy ra hệ thức giữa $x$ và $y$:
$y=x^2+x+3$.
Vì $y\le 2023\Rightarrow x^2+x+3\le 2023\iff x^2+x-2020\le 0\iff -45,44\le x\le 44,44$.
Vì $x$ nguyên dương nên $x\in \{1;2;3;\dots ;44\}$. Với mỗi $x$ cho tương ứng đúng một giá trị $y$ nguyên dương.
Vậy có 44 cặp số $(x;y)$ thỏa mãn đề bài.