Cho tứ diện đều $MNPQ$ cạnh $2a$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $MNQ$, điểm $H$, $K$ lần lượt thuộc cạnh $PQ$, $MQ$ sao cho $QH=2HP$ và $QK=2KM$. Gọi $I$ là giao điểm $QG$ cắt $NK$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $I$ song song $(MNP)$ cắt $NH$ tại $J$. Tính độ dài đoạn thẳng $IJ$ theo $a$?

Câu 5. (2,5 điểm) Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, điểm $C^{\prime }$ di động trên cạnh $SC$. Mặt phẳng $(P)$ chứa $A{C}^{\prime }$ và song song với đường thẳng $DB$, mặt phẳng $(P)$ cắt các cạnh $SB$, $SD$ lần lượt tại $B^{\prime }$, $D^{\prime }$.
a) Chứng minh rằng: $\frac{2SB}{S{B}^{\prime }}-\frac{SC}{S{C}^{\prime }}=1$
b) Xác định vị trí của điểm $C^{\prime }$ trên cạnh $SC$ sao cho: $\frac{2B{B}^{\prime }}{S{B}^{\prime }}+\frac{3S{D}^{\prime }}{D{D}^{\prime }}+\frac{10S{C}^{\prime }}{C{C}^{\prime }}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 8 (1,0 điểm) Cho tứ diện $ABCD$ và $O$ là điểm bất kì nằm bên trong tam giác $BCD$. Qua điểm $O$ kẻ các đường thẳng song song với $AB,AC,AD$ theo thứ tự cắt các mặt phẳng $(ACD),(ABD),(ABC)$ lần lượt tại các điểm $M,N,P$. Giá trị của biểu thức $T=\frac{OM}{AB}+\frac{ON}{AC}+\frac{OP}{AD}$ bằng bao nhiêu?

Cho ba mặt phẳng $(P),(Q),(R)$ đôi một song song. Đường thẳng $a$ cắt các mặt phẳng $(P)$, $(Q)$, $(R)$ lần lượt tại $A,B,C$ sao cho $\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$ và đường thẳng $b$ cắt các mặt phẳng $(P)$, $(Q)$, $(R)$ lần lượt tại $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$. Tỷ số $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Biết $AB\parallel CD$ và $AB=3CD$. Gọi $N$ là trung điểm cạnh $SB$ và $P$ là giao điểm của đường thẳng $DN$ với mặt phẳng $(SAC)$. Tính tỉ số $\frac{PO}{PS}$ (viết kết quả ở dạng số thập phân).

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thap với $AB$ là đáy lớn và $AB=3CD$. Gọi $M$ là trung điểm $CD$, $P$ là điểm trên cạnh $SA$ thỏa $AP=3PS$, điểm $N$ trên cạnh $SB$ sao cho $2SB=7NB$. Gọi $I$ là giao điểm của $BC$ với mặt phẳng $(MNP)$. Tính $\frac{IB}{IC}$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Một chiếc bình nước hình trụ được đặt trên bàn, lượng nước trong bình bằng đúng một phần ba dung tích của bình. An đặt một chiếc ống hút dài 21 cm vào trong bình. Khi đó một đầu của ống hút chạm vào đáy bình, đầu còn lại chạm vào miệng bình. Hỏi độ dài của phần ống hút bị ướt bằng bao nhiêu?