Cho ba mặt phẳng $(P),(Q),(R)$ đôi một song song. Đường thẳng $a$ cắt các mặt phẳng $(P)$, $(Q)$, $(R)$ lần lượt tại $A,B,C$ sao cho $\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$ và đường thẳng $b$ cắt các mặt phẳng $(P)$, $(Q)$, $(R)$ lần lượt tại $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$. Tỷ số $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Biết $AB\parallel CD$ và $AB=3CD$. Gọi $N$ là trung điểm cạnh $SB$ và $P$ là giao điểm của đường thẳng $DN$ với mặt phẳng $(SAC)$. Tính tỉ số $\frac{PO}{PS}$ (viết kết quả ở dạng số thập phân).

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thap với $AB$ là đáy lớn và $AB=3CD$. Gọi $M$ là trung điểm $CD$, $P$ là điểm trên cạnh $SA$ thỏa $AP=3PS$, điểm $N$ trên cạnh $SB$ sao cho $2SB=7NB$. Gọi $I$ là giao điểm của $BC$ với mặt phẳng $(MNP)$. Tính $\frac{IB}{IC}$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Một chiếc bình nước hình trụ được đặt trên bàn, lượng nước trong bình bằng đúng một phần ba dung tích của bình. An đặt một chiếc ống hút dài 21 cm vào trong bình. Khi đó một đầu của ống hút chạm vào đáy bình, đầu còn lại chạm vào miệng bình. Hỏi độ dài của phần ống hút bị ướt bằng bao nhiêu?

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Trên đoạn thẳng $AC$ và $D{C}^{\prime }$ lần lượt lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $MN$ song song với $B{D}^{\prime }$. Biết $B{D}^{\prime }=6cm$, tính độ dài đoạn thẳng $MN$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. $G$ là trọng tâm của tam giác $SCD$. Mặt phẳng $(GAB)$ cắt đường thẳng $SC$ tại $I$. Tính tỉ số $\frac{IS}{IC}$.

Hình ảnh dưới đây là kệ sách gỗ có 4 mặt kệ với thanh gỗ đứng và thanh gỗ xiên. Giá đỡ các mặt kệ xuất hiện tại các vị trí $A,B,C,D$ và $E,F,G,H$. Biết $EF=35$ cm và $\frac{AB}{AD}=\frac{2}{5}$, các mặt kệ song song với mặt đất và không cách đều nhau. Tính độ dài đoạn $HE$.