Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ và điểm $M$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $AM=2BM$. Khi đó $\overrightarrow{MG}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}+z\overrightarrow{AD}$. Tìm tổng $2x+y+z$.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm của SC. Một mặt phẳng (P) chứa AM lần lượt cắt đoạn SB, SD tại các điểm $B^{\prime }$, $D^{\prime }$ khác S. Giá trị lớn nhất của biểu thức $\frac{S{B}^{\prime }}{SB}+\frac{S{D}^{\prime }}{SD}$ có dạng $\frac{a}{b}$ với $a,b$ là các số nguyên tố cùng nhau. Tính tổng $S=a+b$.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm của SC. Một mặt phẳng (P) chứa AM lần lượt cắt đoạn SB, SD tại các điểm $B^{\prime }$, $D^{\prime }$ khác S. Giá trị lớn nhất của biểu thức $\frac{S{B}^{\prime }}{SB}+\frac{S{D}^{\prime }}{SD}$ có dạng $\frac{a}{b}$ với $a,b$ là các số nguyên tố cùng nhau. Tính tổng $S=a+b$.

Cho các điểm phân biệt $A,B,C,D$. Đẳng thức nào sau đây đúng?

(1,5 điểm) Cho tam giác $ABC$ đều cạnh bằng $9cm$. Gọi $D$ là một điểm trên cạnh $AC$ sao cho $\overrightarrow{DA}+2\overrightarrow{DC}=\vec{0}$. a) Biểu diễn vecto $\overrightarrow{BD}$ theo hai vecto $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$. b) Tìm tập hợp điểm $M$ thỏa mãn: $M{A}^2+2M{C}^2=129$.

Cho tứ diện $ABCD$ có $CD=\frac{4}{3}AB$. Gọi $I$, $J$, $K$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $AC$ và $BD$. Cho biết $JK=kAB$ với $k>0$ đồng thời hai đường thẳng $CD$ và $AB$ vuông góc. Tìm $k$? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $E$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Tìm giá trị của $k$ thích hợp điền vào đẳng thức vecto: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=(-5k-6)\overrightarrow{DE}$