Cho tập $A=\{1,2,...,9\}$. Số cách lập được số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau lấy ra từ tập $A$ là

Với mỗi số nguyên dương $n$, ta gọi một hoán vị $(a_0,a_1,\dots ,a_{n-1})$ của các số $0$, $1$, $\dots$, $n-1$ là tốt nếu $a_i+i$ là số chính phương với mọi $i=0,1,\dots ,n-1$.
a) Chứng minh rằng với $n=2026$, trong một hoán vị tốt $(a_0,a_1,\dots ,a_{2025})$, luôn tồn tại ít nhất một chỉ số $i$ sao cho $a_i+i$ chia hết cho 9.
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, luôn tồn tại ít nhất một hoán vị tốt.

Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $\tau (n)$ là số các ước nguyên dương của $n$.
a) Chứng minh rằng $\tau (n)\le 2\sqrt{n}$, với mọi số nguyên dương $n$.
b) Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho dãy số $\tau (n),\tau (\tau (n)),\tau (\tau (\tau (n))),\dots$, không chứa bất kì số chính phương nào.

Một khu vườn trồng cam có dạng bảng ô vuông kích thước $2025\times 2026$ được chia thành các ô vuông đơn vị. Để chiếu sáng khu vườn về ban đêm, ta đặt các bóng điện ở các đỉnh của các ô vuông đơn vị, mỗi đỉnh đặt không quá một bóng điện. Biết rằng mỗi bóng điện chỉ có thể chiếu sáng toàn bộ các ô vuông đơn vị có chung đỉnh có đặt bóng điện đó.
a) Hỏi cần dùng ít nhất bao nhiêu bóng điện để có thể chiếu sáng toàn bộ khu vườn, trong trường hợp các bóng điện hoạt động bình thường?
b) Hỏi cần dùng ít nhất bao nhiêu bóng điện để có thể chiếu sáng toàn bộ khu vườn, kể cả trong trường hợp không may có một bóng điện bất kì bị cháy (mà ta không biết cụ thể là bóng nào)?
c) Trong quá trình trồng cam, chủ vườn quyết định mở rộng khu vườn thành bảng ô vuông có kích thước $2026\times 2026$. Hỏi cần dùng ít nhất bao nhiêu bóng điện để điều kiện ở câu b) vẫn được thỏa mãn?

Bạn Thủy vào một cửa hàng bán đồ ăn sáng để ăn sáng, quán có bán phở, bún như sơ đồ cây dưới đây:



Bạn Thủy có bao nhiêu cách chọn đồ để ăn sáng?

Một tổ có 6 học sinh nữ và 8 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đó đi trực nhật?

Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bố danh sách các đề tài bao gồm: 8 đề tài về lịch sử, 7 đề tài về thiên nhiên, 10 đề tài về con người và 6 đề tài về văn hóa. Mỗi thí sinh được quyền chọn một đề tài. Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu khả năng lựa chọn đề tài?