Cho tam giác $ABC$ có cạnh $AB=4;AC=7$ và $\widehat{BAC}=60^0$. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ bằng ?

Cho tam giác $ABC$ có cạnh $BC=4\sqrt{2};AC=6$ và $\widehat{ACB}=45^{\circ }$. Tích vô hướng $\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}$ bằng:

Cho hai lực $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{MA},\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{MB}$ cùng tác động vào một vật tại điểm $M$. Cường độ hai lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ lần lượt là 127 (N) và 195 (N) và góc $\widehat{AMB}=60^{\circ }$. Tính độ lớn cường độ của lực tổng hợp tác động vào vật (làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;1),B(0;-2),C(4;0)$. Khi đó:

Có hai con tàu $A,B$ xuất phát từ hai bến, chuyển động theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra-đa của trạm điều khiển (xem như mặt phẳng tọa độ $Oxy$ với đơn vị trên các trục tính bằng ki-lô-mét), tại thời điểm $t$ (giờ), vị trí của tàu $A$ có tọa độ được xác định bởi công thức $$\{\begin{array}{l}x=103-120t\\ y=-140+50t\end{array}$$ ; vị trí tàu $B$ có tọa độ là $(148-40t;230-30t)$. Tính gần đúng côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu $A,B$. (kết quả làm tròn đến phần thập phân thứ nhất).

Cho tam giác $ABC$ có $AB=1$, $AC=x(x>0)$ và $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Các điểm $M$, $N$ được xác định bởi $\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{NB}=-2\overrightarrow{NA}$. Khi đó $AM$ và $CN$ vuông góc với nhau khi $x$ bằng

Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Trên các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$, $P$ sao cho $\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB};\overrightarrow{NA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}$ và $AP=\frac{4a}{15}$.