Cho số thực dương $a$ khác 1. Biết rằng bất kỳ đường thẳng nào vuông góc với trục hoành mà cắt các đồ thị của hàm số $y={\log }_{2}x$, $y={\log }_{a}x$ và trục hoành lần lượt tại $M,N$ và $A$ thì $AM=2AN$ (hình vẽ bên). Tính giá trị của $a$.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy đường thẳng vuông góc trục hoành $x=x_0>0$. Khi đó $M(x_0,{\log }_2{x}_0)$, $N(x_0,{\log }_a{x}_0)$, $A(x_0,0)$. Theo hình vẽ, với $x_0>1$ thì $M$ nằm trên trục hoành còn $N$ nằm dưới, nên $a<1$ và $AM={\log }_2{x}_0$, $AN=-{\log }_a{x}_0$. Điều kiện $AM=2AN$ với mọi $x_0$ cho: ${\log }_2{x}_0=-2{\log }_a{x}_0$, tức $\frac{\ln x_0}{\ln 2}=\frac{-2\ln x_0}{\ln a}$ với mọi $x_0>0$. Suy ra $\ln a=-2\ln 2=\ln \frac{1}{4}$, vậy $a=\frac{1}{4}$. Thử lại: ${\log }_{1/4}x=-\frac{1}{2}{\log }_{2}x$, nên $AN=\frac{1}{2}{\log }_{2}x=\frac{AM}{2}$, tức $AM=2AN$ đúng với mọi $x$.