Cho một tứ diện đều $SABC$ có chiều cao $h$. Ở ba góc của tứ diện, người ta cắt đi các tứ diện đều bằng nhau có chiều cao $x$ để khối đa diện còn lại có thể tích lớn nhất. Giá trị của $x$ bằng:

Một cửa hàng kinh doanh máy lọc nước Karofi. Hàm cầu biểu thị liên hệ giữa giá bán của một chiếc máy với số lượng máy bán được trong một tháng là hàm bậc nhất. Khi giá bán là 5 triệu đồng một chiếc thì một tháng bán được 100 chiếc, khi giá bán là 4,5 triệu đồng một chiếc thì một tháng bán được 120 chiếc. Biết chi phí trung bình cho một chiếc máy khi bán được $x$ chiếc là $\frac{3x+50}{x}$. Hỏi cửa hàng cần bán với giá bao nhiêu triệu đồng một chiếc máy để lợi nhuận thu được trong một tháng lớn nhất?

Một hòn đảo A cách bờ biển $3\text{ km}$ và cách trạm điện B $5\text{ km}$. Công ty điện lực dự định làm một tuyến đường điện từ trạm điện B dọc theo bờ biển đến một điểm C, sau đó từ C nối thẳng ra đảo A (tham khảo hình vẽ). Biết chi phí cho $1\text{ km}$ đường điện trên bờ là 30 triệu đồng và trên biển là 50 triệu đồng. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu triệu đồng để hoàn thành kế hoạch trên?

Một doanh nghiệp kinh doanh một loại sản phẩm dược liệu T được sản xuất trong nước. Qua nghiên cứu, người ta nhận thấy rằng nếu chi phí sản xuất mỗi sản phẩm dược liệu T là $x$ (đơn vị: USD) thì số sản phẩm dược liệu T mà các nhà máy có thể sản xuất là: $R(x)=x-200$ và số sản phẩm dược liệu T mà doanh nghiệp bán được trên thị trường trong nước là: $Q(x)=4200-x$. Số sản phẩm còn lại doanh nghiệp sẽ xuất khẩu ra thị trường quốc tế với giá bán mỗi sản phẩm ổn định trên thị trường quốc tế là: $x_0=3200$ (USD). Nhà nước đánh thuế trên mỗi sản phẩm xuất khẩu là $a$ (USD) và luôn đảm bảo tỉ lệ giữa lãi xuất khẩu của doanh nghiệp và thuế thu được của nhà nước là $4:1$. Hãy xác định giá trị của $a$ biết lãi mà doanh nghiệp thu được do xuất khẩu là nhiều nhất.

Câu 1. Một nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy $B$, nhà máy $A$ chỉ bán sản phẩm cho nhà máy $B$ và nhà máy $B$ cam kết thu mua hết số sản phẩm mà nhà máy $A$ sản xuất được. Nhà máy $A$ có khả năng sản xuất được tối đa là $200$ tấn sản phẩm trong $1$ tháng. Nếu bán ra $x$ tấn sản phẩm cho nhà máy $B$ thì giá bán mỗi tấn sản phẩm là $50-0,0002x^2$ triệu đồng. Trong một tháng nhà máy $A$ phải chi phí cho nhân công và chi cho khấu hao máy móc một lượng cố định là $150$ triệu đồng, ngoài ra khi sản xuất mỗi tấn sản phẩm thì nhà máy phải chi phí thêm cho mua nguyên liệu là $35$ triệu đồng. Biết rằng nhà máy $A$ phải nộp $5\%$ doanh thu cho cơ quan thuế. Tính lợi nhuận sau thuế (lợi nhuận sau khi đã trừ tiền thuế) lớn nhất thu được trong $1$ tháng của nhà máy $A$ (đơn vị tính là tỉ đồng và kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Để doanh thu cao nhất trong mùa hè năm $2024$, Ban quản lý bể bơi thành phố tiến hành thăm dò dư luận. Qua thăm dò dư luận cho thấy số khách đến bơi thay đổi phụ thuộc vào giá vé $x$ theo hàm cầu là: $y(x)=-\frac{1}{50}x+1300$, với $x$ giá mỗi vé bơi (đơn vị đồng). Tính doanh thu cao nhất của bể bơi đó (đơn vị đồng).

Giả sử chi phí để sản xuất $x$ sản phẩm của một nhà máy A được cho bởi hàm số $C(x)=0,2x^2+10x+5$ (triệu đồng). Khi đó chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là $f(x)=\frac{C(x)}{x}$. Số lượng sản phẩm cần sản xuất là bao nhiêu để chi phí trung bình là thấp nhất?