Giả sử chi phí để sản xuất $x$ sản phẩm của một nhà máy A được cho bởi hàm số $C(x)=0,2x^2+10x+5$ (triệu đồng). Khi đó chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là $f(x)=\frac{C(x)}{x}$. Số lượng sản phẩm cần sản xuất là bao nhiêu để chi phí trung bình là thấp nhất?

Câu 4. Cho một tấm bìa hình elip tâm $O$ có độ dài trục lớn và trục bé lần lượt bằng $8$ và $6$. Một hình chữ nhật có các cạnh song song hoặc vuông góc với hai trục của elip như hình vẽ, người ta tiến hành cắt ra các tam giác cân từ tấm bìa có một cạnh chung với hình chữ nhật sao cho có thể gấp vặn thành một hình chóp tứ giác có tất cả các cạnh bên bằng nhau. Thể tích lớn nhất của khối chóp tạo thành bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 6. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho parabol $(P):y=-x^2-2$ và đường tròn $(C):(x+4{)}^2+y^2=4$. Một chất điểm xuất phát từ một điểm bất kì thuộc $(P)$ di chuyển đến đường thẳng $(d):y=x$, tiếp tục di chuyển trên đường thẳng $(d)$ một đoạn bằng $1$ sau đó di chuyển đến một điểm thuộc đường tròn $(C)$. Tính quãng đường ngắn nhất mà chất điểm hoàn thành chặng đường trên? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 400 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm ($1\le x\le 400$) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $F(x)=x^3-1999x^2+1001000x+250000$ (đồng). Trong đó chi phí vận hành máy móc cho mỗi sản phẩm là $G(x)=\frac{100000x}{x^2+1}$ (đồng). Tổng chi phí mua nguyên vật liệu là $H(x)=2x^3+100000x-50000$ (đồng) nhưng do doanh nghiệp đó mua nguyên vật liệu với số lượng lớn nên được giảm $1\%$ cho 200 sản phẩm đầu tiên doanh nghiệp sản xuất và giảm $2\%$ cho sản phẩm tiếp theo. Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Một nghệ nhân làm gốm thủ công tại địa phương đang sản xuất một dòng bình hoa gốm đặc biệt. Mỗi ngày, nghệ nhân này có thể sản xuất $x$ chiếc bình hoa ($1\le x\le 18,x\in \mathbb{N}$). Tổng chi phí sản xuất $x$ bình hoa trong một ngày (bao gồm nguyên liệu, công thợ và lò nung), tính bằng đơn vị nghìn đồng, được xác định bởi hàm chi phí: $C(x)=x^3-3x^2+40x+500$. Giả sử toàn bộ số bình hoa sản xuất ra trong ngày đều được các cửa hàng lưu niệm thu mua hết với giá cố định là $280$ nghìn đồng/bình. Để đạt được lợi nhuận cao nhất, nghệ nhân này nên sản xuất bao nhiêu bình hoa mỗi ngày?

Câu 5. Một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm. Giả sử tổng chi phí (đơn vị: triệu đồng) để sản xuất và bán hết $x$ sản phẩm đó được cho bởi: $f(x)=0,0001x^2+0,2x+10000(x\ge 1)$. Hãy cho biết doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm (đơn vị: nghìn) để chi phí trung bình là nhỏ nhất?

Câu 8. Một trung tâm cứu hộ động vật hoang dã chăm sóc hai cá thể động vật có khối lượng $x\text{ kg}$ và $y\text{ kg}$ ($x>0,y>0$). Khối lượng của hai cá thể thỏa mãn hệ thức $x^{\frac{3}{4}}+2\cdot y^{\frac{3}{4}}=12$. Chỉ số tương tác sinh học giữa hai cá thể được xác định bởi $S=\frac{1}{2}{x}^{\frac{3}{4}}+2y^{\frac{3}{4}}+\frac{64}{x^{\frac{3}{4}}\cdot y^{\frac{3}{4}}}$. Chỉ số $S$ đạt giá trị nhỏ nhất khi tỷ số khối lượng $\frac{y}{x}$ của hai cá thể bằng