Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh $a=36cm$. Người ta cắt ở bốn góc 4 hình vuông bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại để được một cái hộp không nắp. Tìm cạnh của hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất?

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm $O$ trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm $A,B,C$ trên đèn tròn sao cho tam giác $ABC$ đều (Hình vẽ bên dưới). Độ dài của ba đoạn dây $OA,OB,OC$ đều bằng $L$ (dm). Trọng lượng của chiếc đèn là 27 N và bán kính của chiếc đèn là 5 dm. Gọi $F$ là độ lớn của các lực căng ${\vec{F}}_1,{\vec{F}}_2,{\vec{F}}_3$ trên mỗi sợi dây. Khi đó $F=F(L)$ là một hàm số với biến số $L$. Xác định hàm số $F=F(L)$ và tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 9,75 N.

Trên một khúc sông có dòng nước lặng, một chiếc tàu chạy với tốc độ không đổi, chi phí nhiên liệu được tính bởi hai phần: Phần thứ nhất không phụ thuộc vào tốc độ và mất chi phí là 700 nghìn đồng/giờ; Phần thứ hai tỉ lệ thuận với bình phương của tốc độ, khi tàu chạy với tốc độ 10 km/h thì chi phí phần thứ hai là 70 nghìn đồng/giờ. Tìm tốc độ của tàu để tổng chi phí nhiên liệu khi tàu chạy 1 km trên sông là nhỏ nhất. (Bỏ qua vận tốc của dòng nước)

Một ngọn hải đăng được đặt tại vị trí $A$ cách bờ biển một khoảng $AB=5\text{km}$. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí $C$ cách $B$ một khoảng $BC=7\text{km}$ (tham khảo hình vẽ). Người canh hải đăng có thể chèo đò từ vị trí $A$ đến vị trí $M$ trên bờ biển với vận tốc $4\text{ km/h}$ và đi bộ đến kho $C$ với vận tốc $6\text{ km/h}$. Hỏi muộn nhất mấy giờ người đó phải xuất phát từ vị trí $A$ để có mặt ở kho $C$ lúc 7 giờ sáng?

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh $1\text{ (m)}$ như hình vẽ bên. Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $x\text{ (m)}$ sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại thành đỉnh của hình chóp. Giá trị của $x$ để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất là

Một người dự định sử dụng hết $1,5{\text{ m}}^2$ kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng. Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Hai nhà máy sản xuất đặt tại các vị trí $A$ và $B$ cách nhau $4\text{ km}$. Một nhà máy cung cấp nước được đặt ở vị trí $C$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$, cách trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ một khoảng $4\text{ km}$. Người ta muốn làm một đường ống dẫn nước từ nhà máy nước $C$ đến một vị trí $I$ nằm giữa đoạn thẳng $MC$ sau đó chia ra hai nhánh dẫn tới hai nhà máy $A$ và $B$ (hình vẽ).
Tổng độ dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất bằng bao nhiêu $\text{km}$? *(làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)*.