Cho lăng trụ đứng tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $M,N,P,Q$ là các điểm lần lượt thuộc các cạnh $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime },B^{\prime }{C}^{\prime }$ thỏa mãn $\frac{AM}{A{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}$, $\frac{BN}{B{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}$, $\frac{CP}{C{C}^{\prime }}=\frac{1}{4}$, $\frac{C^{\prime }Q}{C^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{1}{5}$. Gọi $V_1,V_2$ lần lượt là thể tích khối tứ diện $MNPQ$ và khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Tính tỷ số $\frac{V_1}{V_2}$.

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $AB=12$; $AC=6$; $A{A}^{\prime }=18\sqrt{2}$ và góc $\widehat{BAC}$ bằng $45^{\circ }$. Các điểm $M,N$ lần lượt là trung điểm $BC,B^{\prime }{C}^{\prime }$. Các điểm $H,K,E$ lần lượt nằm trên các đoạn $A{C}^{\prime },A^{\prime }B,A^{\prime }N$ sao cho $HA=2H{C}^{\prime },KB=3K{A}^{\prime },EN=2E{A}^{\prime }$. Tính thể tích khối tứ diện $MHKE$.

Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A'B'C' có thể tích V . Thể tích khối tứ diện C. A'B'C' bằng
V 2V V V

Cho hình hộp ABCD. A'B'C'D' có thể tích bằng V . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các
V
cạnh AB , A'C ' , BB' . Gọi V1 là tính thể tích khối đa diện CMNP . Tính
V1
1 1 5 7

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $2a$. Gọi $M$ là trung điểm của $B{B}^{\prime }$ và $P$ thuộc cạnh $D{D}^{\prime }$ sao cho $DP=\frac{1}{4}D{D}^{\prime }$. Biết mặt phẳng $(AMP)$ cắt $C{C}^{\prime }$ tại $N$, thể tích của khối đa diện $AMNPBCD$ bằng

Cho khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, điểm $M$ thuộc cạnh $C{C}^{\prime }$ sao cho $C{C}^{\prime }=3CM$. Mặt phẳng $(A{B}^{\prime }M)$ chia khối hộp thành hai khối đa diện. $V_1$ là thể tích khối đa diện chứa đỉnh $A^{\prime }$, $V_2$ là thể tích khối đa diện chứa đỉnh $B$. Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$.

Cho tứ diện $ABCD$, trên các cạnh $BC,BD,AC$ lần lượt lấy các điểm $M,N,P$ sao cho $BC=3BM,BD=\frac{3}{2}BN,AC=2AP$. Mặt phẳng $(MNP)$ chia tứ diện $ABCD$ thành hai phần có thể tích là $V_1,V_2$. Tính $\frac{V_1}{V_2}$.