Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều, $AB=a$, $A{A}^{\prime }=a\sqrt{3}$. Số đo góc nhị diện $[A,BC,A^{\prime }]$ bằng bao nhiêu độ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$. Các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm $SC$. Tính số đo góc nhị diện $[A,BD,M]$ (tính theo đơn vị độ, làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho hình nón đỉnh $S$. Mặt phẳng chứa trục của hình nón cắt hình nón một thiết diện là tam giác vuông có cạnh huyền bằng $2a$. Mặt phẳng $(P)$ qua $S$ và tạo với mặt đáy một góc bằng $60^{\circ }$. Diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(P)$ và hình nón bằng

Cho hình lăng trụ đứng tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ làm tam giác vuông tại $B$ và $BC=4,AC=5$ và $A{A}^{\prime }=3\sqrt{3}$. Góc giữa mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ và mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ bằng:

Từ mặt nước trong một bể nước, tại ba vị trí đôi một cách nhau $2\text{ m}$, người ta lần lượt thả dây dọi để quả dọi chạm đáy bể. Phần dây dọi (thẳng) nằm trong nước tại ba vị trí đó lần lượt có độ dài là $4\text{ m}$; $4,4\text{ m}$ và $4,8\text{ m}$. Biết đáy bể là phẳng. Hỏi đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $SA\perp (ABC)$, $SA=AB=a$ (hình vẽ bên dưới). Tính số đo của góc nhị diện $[S,BC,A]$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ tâm $O$, $SO\perp (ABCD)$, $SO=\frac{a\sqrt{6}}{3}$, $OB=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Góc phẳng nhị diện $[A,BC,S]$ có số đo bằng $a^{\circ },a>0$. Giá trị của $a$ bằng