Cho hình lăng trụ đứng tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ làm tam giác vuông tại $B$ và $BC=4,AC=5$ và $A{A}^{\prime }=3\sqrt{3}$. Góc giữa mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ và mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ bằng:

Từ mặt nước trong một bể nước, tại ba vị trí đôi một cách nhau $2\text{ m}$, người ta lần lượt thả dây dọi để quả dọi chạm đáy bể. Phần dây dọi (thẳng) nằm trong nước tại ba vị trí đó lần lượt có độ dài là $4\text{ m}$; $4,4\text{ m}$ và $4,8\text{ m}$. Biết đáy bể là phẳng. Hỏi đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $SA\perp (ABC)$, $SA=AB=a$ (hình vẽ bên dưới). Tính số đo của góc nhị diện $[S,BC,A]$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ tâm $O$, $SO\perp (ABCD)$, $SO=\frac{a\sqrt{6}}{3}$, $OB=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Góc phẳng nhị diện $[A,BC,S]$ có số đo bằng $a^{\circ },a>0$. Giá trị của $a$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ xuống mặt đáy nằm trong hình vuông $ABCD$. Hai mặt phẳng $(SAD),(SBC)$ vuông góc với nhau; góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ là $60^{\circ }$; góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ là $45^{\circ }$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$, tính $\cos \alpha$.

Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bất kì của một tứ diện đều.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Gọi $\alpha$ là góc giữa $(AC{D}^{\prime })$ và $(ABCD)$. Giá trị của $\tan \alpha$ bằng: