Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh 3. Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là $60^{\circ }$ và hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là trung điểm $H$ của cạnh $B^{\prime }{C}^{\prime }$ (như hình vẽ). Tính tang góc giữa hai đường thẳng $BC$ và $A{C}^{\prime }$. ( kết quả làm tròn đến chữ số hàng đơn vị.)

Trong một khung lưới ô vuông gồm các hình lập phương, xét các đường thẳng đi qua hai nút lưới (mỗi nút lưới là đỉnh của hình lập phương), người ta đưa ra một cách kiểm tra độ lệch về phương của hai đường thẳng bằng cách gắn hệ tọa độ $Oxyz$ vào khung lưới ô vuông và tìm vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó. Giả sử, đường thẳng $a$ đi qua hai nút lưới $M(1;1;2)$ và $N(0;3;0)$, đường thẳng $b$ đi qua hai nút lưới $P(1;0;3)$ và $Q(3;3;9)$. Sau khi làm tròn đến hàng đơn vị của độ thì góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ bằng $n^{\circ }$ ($n$ là số tự nhiên). Giá trị của $n$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=5+t\\ y=-2+t\\ z=4+\sqrt{2}t\end{array},(t\in \mathbb{R})$ và đường thẳng $d^{\prime }:\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-3}{\sqrt{2}}$. Hãy xác định góc giữa đường thẳng $d$ và đường thẳng $d^{\prime }$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho 2 đường thẳng $d_1:\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{-m}=\frac{z-2}{-3}$, $d_2:\frac{x-3}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}$. Tìm tất cả giá trị thực của $m$ để $d_1$ vuông góc với $d_2$.

Cho hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=-t\sqrt{2}\\ z=2+t\end{array}$ và $d_2:\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1+t\sqrt{2}\\ z=2+mt\end{array}$. Tìm giá trị của $m$ sao cho góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ bằng $60^{\circ }$.

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh bên $2a$, góc tạo bởi $A^{\prime }B$ và mặt đáy là $60^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng $A^{\prime }C$ và $AM$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1-t\\ z=3+2t\end{array}$ và $d_2:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{-1}$.