Cho $L=\lim \sqrt{4+\frac{a{n}^2-1}{4+n^2}-\frac{1}{3^n}}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a$ thuộc $(0;20)$ để $L$ là một số nguyên?

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $L=\lim \sqrt{4+\frac{a{n}^2-1}{4+n^2}-\frac{1}{3^n}}$. Vì $\lim \frac{a{n}^2-1}{4+n^2}=a$ và $\lim \frac{1}{3^n}=0$ nên $L=\sqrt{4+a}$. Để $L$ là số nguyên thì $4+a=k^2$ với $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$, tức $a=k^2-4$. Với $a$ nguyên thuộc $(0;20)$: $k=3\Rightarrow a=5$; $k=4\Rightarrow a=12$; $k=5\Rightarrow a=21$ (loại). Vậy có 2 giá trị $a\in \{5;12\}$, đáp án C. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 10, Mã đề 1131: C).