Cho khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A^{\prime }B$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$; góc giữa $A{A}^{\prime }$ với $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$. Khoảng cách từ $A$ đến các đường thẳng $B{B}^{\prime },D{D}^{\prime }$ cùng bằng 1. Góc giữa hai mặt phẳng $(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ và $(C^{\prime }CD{D}^{\prime })$ bằng $60^{\circ }$. Tính thể tích khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Cho lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Biết khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(AB{C}^{\prime })$ bằng $a$, góc giữa hai mặt phẳng $(AB{C}^{\prime })$ và $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ bằng $\alpha$ với $\cos \alpha =\frac{1}{2\sqrt{3}}$. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

Câu 4. Tại một trung tâm thử nghiệm, các kỹ sư sử dụng một bồn chứa nhiên liệu dạng lăng trụ đứng có đáy là hình vuông. Các kích thước của bồn như sau: cạnh đáy bằng $50\sqrt{\pi }\text{ cm}$ và chiều cao bằng $112\text{ cm}$. Bên trong bồn chứa có lắp đặt cố định một bình nén khí. Bình nén khí này được coi là một khối cầu đặc có bán kính bằng $30\text{ cm}$, tiếp xúc với mặt đáy của bồn và có tâm nằm trên trục của lăng trụ. Ban đầu, bồn chứa hoàn toàn không có nhiên liệu. Người ta bắt đầu bơm nhiên liệu lỏng vào bồn với lưu lượng (thể tích bơm được trong mỗi phút) không đổi. Quá trình bơm diễn ra liên tục, và sau đúng $90$ phút, mực nhiên liệu dâng lên vừa chạm tới mặt phẳng miệng bồn. Để thiết lập hệ thống tự động, các kỹ sư cần khoan gắn một cảm biến đo mức trên vách bồn. Cảm biến này phải được đặt ở vị trí có cùng độ cao với mực nhiên liệu tại thời điểm máy bơm đã hoạt động được đúng $15$ phút. Hỏi cảm biến này phải được gắn ở độ cao bao nhiêu cm (tính từ mặt đáy bồn theo phương thẳng đứng)? *(Bỏ qua sự bay hơi hay giãn nở của nhiên liệu; bồn chứa không bị biến dạng và có độ dày không đáng kể. Giả sử nhiên liệu lấp đầy hoàn toàn các khoảng trống và bề mặt chất lỏng luôn là mặt phẳng nằm ngang. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị nếu là số thập phân)*.

Cho khối lăng trụ có diện tích đáy $B=2$ và chiều cao $h=6$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho.

Cho hình lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thoi, số đo góc $ABC=60^{\circ }$. Biết rằng $C^{\prime }A=C^{\prime }B=C^{\prime }C$. Góc giữa mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^{\circ }$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và $BC$ bằng $6\sqrt{3}$. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng $a\sqrt{2}$, giá trị của $a$ bằng bao nhiêu?

Cho khối lăng trụ có diện tích đáy $B=10$ và chiều cao $h=3$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Khối lập phương có thể tích bằng 27 thì có cạnh bằng