Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left(\sqrt{f(\sin x)+2}\right)=f(m)$ có nghiệm thuộc nửa khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$?


Chọn C.
Với $x\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$, ta có $u=\sin x\in (-1;1]$.
Từ đồ thị hàm số bậc ba $y=f(u)$:
- Tại $u=-1$, $f(-1)=2$.
- Tại $u=0$, $f(0)=0$.
- Tại $u=1$, $f(1)=-2$.
Hàm số $f(u)$ nghịch biến trên $[-1;1]$, do đó với $u\in (-1;1]$ thì $f(u)\in [-2;2)$.
Suy ra $f(\sin x)+2\in [0;4)$, do đó $t=\sqrt{f(\sin x)+2}\in [0;2)$.
Xét tập giá trị của $f(t)$ với $t\in [0;2)$:
Từ đồ thị hàm số:
- Tại $t=0$, $f(0)=0$.
- Tại $t=1$, $f(1)=-2$ (cực tiểu).
- Tại $t=2$, $f(2)=2$.
Do đó khi $t\in [0;2)$, giá trị của $f(t)$ nhận tất cả các giá trị thuộc nửa khoảng $[-2;2)$.
Để phương trình $f(t)=f(m)$ có nghiệm thì $f(m)\in [-2;2)$.
Từ đồ thị, các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn $f(m)\in [-2;2)$ gồm 3 giá trị nguyên (chẳng hạn $m=0,1,-2$ tương ứng với các giá trị thuộc khoảng trên).
Vậy có 3 giá trị nguyên của $m$.