Cho hình vuông $ABCD$, gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,AD$. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ tại $H$ lấy một điểm $S$ khác $H$. Chứng minh rằng $CK$ vuông góc $SD$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta chứng minh $CK\perp (SDH)$.

- Chứng minh $DH\perp CK$: đặt hệ tọa độ $A(0;0),B(2;0),D(0;2),C(2;2)$ thì $H(1;0),K(0;1)$. Ta có $\overrightarrow{DH}=(1;-2)$, $\overrightarrow{CK}=(-2;-1)$, nên $\overrightarrow{DH}\cdot \overrightarrow{CK}=1\cdot (-2)+(-2)\cdot (-1)=-2+2=0$. Vậy $DH\perp CK$.

(Cách khác không dùng tọa độ: $\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AH}$ và $\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BK}$; vì $\overrightarrow{DA}\perp \overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{DA}\perp \overrightarrow{BK}$, $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{CB}$ nên $\overrightarrow{DH}\cdot \overrightarrow{CK}=\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{BK}+\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{BK}+0$. Đặt cạnh hình vuông là $2a$ thì $DA=2a$, chiếu $\overrightarrow{BK}$ lên hướng $\overrightarrow{DA}$: $\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}$, với $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ cùng hướng $\overrightarrow{DA}$ độ dài $2a$, $\overrightarrow{AK}\perp \overrightarrow{DA}$, do đó $\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{BK}=\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{BA}=2a\cdot 2a>0$... ở đây cần tính đúng dấu: $\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{BK}=\overrightarrow{DA}\cdot (\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK})=|DA||BA|\cos 0^{\circ }+0=4a^2$, sai dấu vì thực tế $\overrightarrow{DH}\cdot \overrightarrow{CK}=0$; cách tọa độ ở trên là chứng minh chính xác và đầy đủ.)
- Vì $SH\perp (ABCD)$ mà $CK\subset (ABCD)$ nên $SH\perp CK$.
- Ta có $CK\perp DH$, $CK\perp SH$, với $DH,SH$ cắt nhau tại $H$ và cùng nằm trong mặt phẳng $(SDH)$. Suy ra $CK\perp (SDH)$.
- Mà $SD\subset (SDH)$ nên $CK\perp SD$. $■$