Cho hình lập phương $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ cạnh $a$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập hệ trục: $A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),A_1(0,0,a),B_1(a,0,a),C_1(a,a,a),D_1(0,a,a)$.
a) Mặt $(BC{D}_1{A}_1)$ chứa $B,C,D_1,A_1$. Vectơ $\overrightarrow{A{B}_1}=(a,0,a)$ thỏa $\overrightarrow{A{B}_1}\cdot \overrightarrow{BC}=(a,0,a)\cdot (0,a,0)=0$ và $\overrightarrow{A{B}_1}\cdot \overrightarrow{B{A}_1}=(-a,0,a)\cdot (a,0,a)=-a^2+a^2=0$, nên $\overrightarrow{A{B}_1}$ là pháp tuyến của mặt, tức $A{B}_1\perp (BC{D}_1{A}_1)$: Đúng.
b) $A{A}_1$ là cạnh bên vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$: Đúng.
c) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{C{C}_1}=(a,0,0)\cdot (0,0,a)=0$, hai đường chéo vuông góc: Đúng.
d) Mặt $(A_{1}BC{D}_1)$ có pháp tuyến $\vec{n}=(1,0,1)$, $\overrightarrow{A{C}_1}=(a,a,a)$. Khi đó $\sin \alpha =\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{A{C}_1}|}{|\vec{n}||\overrightarrow{A{C}_1}|}=\frac{2a}{\sqrt{2}\cdot a\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{6}}$, suy ra $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$ và $\tan \alpha =\sqrt{2}\ne \frac{2}{\sqrt{3}}$: Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức mã đề 102: DDDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{B}_1}=(a,0,a)$ vuông góc với $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{B{A}_1}$ nên là pháp tuyến của $(BC{D}_1{A}_1)$, do đó $A{B}_1\perp (BC{D}_1{A}_1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$A{A}_1$ là cạnh bên của hình lập phương, vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{C{C}_1}=(a,0,0)\cdot (0,0,a)=0$ nên $AB\perp C{C}_1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với pháp tuyến $\vec{n}=(1,0,1)$ của $(A_{1}BC{D}_1)$ và $\overrightarrow{A{C}_1}=(a,a,a)$: $\sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{6}}$, suy ra $\tan \alpha =\sqrt{2}\ne \frac{2}{\sqrt{3}}$, khẳng định sai.