Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' ; Tính tang góc giữa A'C và (ABCD).

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, $SA$ vuông góc với đáy.
Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là:

(1 điểm) Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $C$. Hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trung điểm $H$ của đoạn $AB$. Tam giác $SBC$ là tam giác đều cạnh $a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là các điểm trên cạnh $BC$, $SC$ sao cho $MB=MC$, $NS=3NC$. Tính góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAB)$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

(1 điểm) Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trung điểm $H$ của đoạn $AB$. Tam giác $SBC$ là tam giác vuông cân tại $B$. Gọi $P$, $Q$ lần lượt là các điểm trên cạnh $BC$, $SC$ sao cho $PB=PC,QS=3QC$. Tính góc giữa đường thẳng $PQ$ và mặt phẳng $(SAB)$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

(1,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh 2, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$ và $SA=2$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SD$ và $\alpha$ là số đo góc tạo bởi đường thẳng $CM$ và mặt phẳng $(SAC)$. Giá trị của $\tan \alpha$ bằng bao nhiêu?

Một chiếc lều du lịch hình chóp có đáy là lục giác đều và hình chiếu của đỉnh lều trên mặt đất trùng với tâm của lục giác đáy, khung lều làm bằng tre (như hình bên dưới). Biết góc giữa các thanh tre với mặt sàn là $30^{\circ }$; tấm lót sàn hình lục giác đều có diện tích bằng $18\sqrt{3}{m}^2$. Người ta muốn treo 1 dây đèn trang trí dọc theo cột ở giữa của lều từ đỉnh lều xuống mặt sàn. Khi đó độ dài của dây đèn cần chuẩn bị để treo ít nhất bao nhiêu mét?

Một chiếc lều du lịch hình chóp có đáy là lục giác đều và hình chiếu của đỉnh lều trên mặt đất trùng với tâm của lục giác đáy, khung lều làm bằng tre (như hình bên dưới). Biết góc giữa các thanh tre với mặt sàn là $30^{\circ }$; tấm lót sàn hình lục giác đều có diện tích bằng $18\sqrt{3}{m}^2$. Người ta muốn treo 1 dây đèn trang trí dọc theo cột ở giữa của lều từ đỉnh lều xuống mặt sàn. Khi đó độ dài của dây đèn cần chuẩn bị để treo ít nhất bao nhiêu mét?