Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $M,N$ lần lượt trung điểm của cạnh $AC$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $\alpha$ là góc hợp giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$. Tính giá trị của $\sin \alpha$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a$. Góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Cạnh bên $B{B}^{\prime }=a\sqrt{6}$. Hình chiếu vuông góc $H$ của $A$ trên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ trùng với trọng tâm của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ). Côsin của góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ có $AB=BC=a,AD=2a$, $SA=2a$ (tham khảo hình vẽ bên dưới). Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$.


Câu 1. Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có độ dài cạnh bằng $a$. Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm thuộc đoạn thẳng $A{D}^{\prime }$ và $BD$ sao cho $AM=DN=x$, $0<x<a\sqrt{2}$. Khi độ dài $MN$ ngắn nhất cosin góc giữa $MN$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng.

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=BC=a,A{A}^{\prime }=a\sqrt{6}$ (tham khảo hình dưới). Góc giữa đường thẳng $A^{\prime }C$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $3a$, góc $\widehat{BAD}$ bằng $60^{\circ }$ và $SA=SB=SD=a\sqrt{6}$. Mặt phẳng $(P)$ thay đổi nhưng luôn qua $B$ và vuông góc $(SCD)$. Gọi $\phi$ là góc giữa $BD$ và $(P)$. Tính giá trị lớn nhất của $\sin \phi$.