Câu 1. Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có độ dài cạnh bằng $a$. Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm thuộc đoạn thẳng $A{D}^{\prime }$ và $BD$ sao cho $AM=DN=x$, $0<x<a\sqrt{2}$. Khi độ dài $MN$ ngắn nhất cosin góc giữa $MN$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng.

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=BC=a,A{A}^{\prime }=a\sqrt{6}$ (tham khảo hình dưới). Góc giữa đường thẳng $A^{\prime }C$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $3a$, góc $\widehat{BAD}$ bằng $60^{\circ }$ và $SA=SB=SD=a\sqrt{6}$. Mặt phẳng $(P)$ thay đổi nhưng luôn qua $B$ và vuông góc $(SCD)$. Gọi $\phi$ là góc giữa $BD$ và $(P)$. Tính giá trị lớn nhất của $\sin \phi$.

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, có $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Biết $SO=AB=2$. Giá trị $\sin$ của góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(SBC)$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh bằng a . Hình chiếu của điểm
a2
A' trên mặt phẳng ( ABC ) là trọng tâm G của tam giác ABC và diện tích tam giác A'AB bằng . Tính
4
góc giữa đường thẳng BB' và mặt phẳng ( A'GC ) .

Câu 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có $AD=2a,AB=a\sqrt{2}$. Tam giác $SAD$ cân tại $S$ và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng $SB$ tạo với đáy một góc $30^{\circ }$. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi $SA$ và mặt phẳng $(SBC)$. Giá trị $\sin \alpha$ bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, $SA=2a$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $AB=a\sqrt{3}$ và $BC=a$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng