Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $2a$. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Hình lập phương cạnh $2a$, đặt hệ tọa độ $A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),A^{\prime }(0,0,2a)$.
a) $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ là mặt phẳng đường chéo, $B$ cách đều hai đầu đường chéo $AC$, khoảng cách bằng nửa đường chéo hình vuông cạnh $2a$: $d=\frac{2a\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}$. Đúng.
b) $B{B}^{\prime }\parallel CD$ (cùng vuông góc mặt đáy), khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng $BC=2a$, không phải $2a\sqrt{2}$. Sai.
c) Hai mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$ song song, khoảng cách bằng $AD=2a$, không phải $a$. Sai.
d) $AD\parallel BC$ nên $AD\parallel (A^{\prime }BC)$. Mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$: vectơ pháp tuyến từ $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(2a,0,-2a)$, $\overrightarrow{A^{\prime }C}=(2a,2a,-2a)$ là $(1,0,1)$, phương trình $x+z=2a$. Khoảng cách từ $A(0,0,0)$: $d=\frac{2a}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$. Đúng.
So với đáp án nguồn ĐSSĐ: khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $B$ đến $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ bằng nửa đường chéo hình vuông $ABCD$: $\frac{2a\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$B{B}^{\prime }\parallel CD$ nên khoảng cách bằng $BC=2a\ne 2a\sqrt{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng song song, khoảng cách bằng $AD=2a\ne a$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AD\parallel (A^{\prime }BC)$; khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $x+z=2a$ bằng $\frac{2a}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$.